Gebrochene Exponenten berechnen; Basis als Bruch

Exponenten mit Brüchen sehen manchmal bedrohlich aus. Da kann es nicht schaden, viele Beispiele zu machen. Behandeln wir einige. Wir haben 25/9 und wollen das zur 1/2 ten Potenz nehmen. Damit sagen wir einfach: Was ist die Quadratwurzel von 25/9? Welche Zahl, mit sich selbst multipliziert, ergibt 25/9? 5 mal 5 gibt 25, 3 mal 3 gibt 9. Das ist also einfach 5/3, stimmt's? Schau, 5/3 mal 5/3 ergibt 25/9. Anders gesagt: 5/3 zum Quadrat ist gleich 25/9. 25/9 hoch 1/2 ist also gleich 5/3. Jetzt übertreiben wir mal. Nehmen wir ein richtig schwieriges. Nehmen wir 81/256 hoch minus 1/4. Pausiere doch hier das Video und versuche das selbst. Was passiert hier? Dieses Minus im Exponenten löse ich immer sofort auf. Dieses Minus im Exponenten löse ich immer sofort auf. Ich nehme also den Kehrwert der Basis und nehme sie hoch der positiven Potenz. Das ist also gleich 256/81 hoch 1/4. Das ist also gleich 256/81 hoch 1/4. Jetzt kann ich fragen: welche Zahl mal sich selbst, mal sich selbst, mal sich selbst, ist gleich 256, und welche Zahl mal sich selbst, mal sich selbst, mal sich selbst-- habe ich das vier mal gesagt? Welche Zahl, wenn ich sie vier mal mit sich selbst multipliziere, gibt mir 81? Mann kann das so überlegen-- Mann kann das so überlegen-- wir machen das später noch mit den Potenzeigenschaften-- das ist gleich 256 hoch 1/4 dividiert durch 81 hoch 1/4. Das hast du schon hier oben gesehen. Das war dasselbe wie die Quadratwurzel von 25 dividiert durch die Quadratwurzel von 9. Oder 25 hoch 1/2 dividiert durch 9 hoch 1/2. Das machen wir hier auch. Wir müssen diese Zahl noch finden. Da gibt es keinen einfachen Weg. Du musst herumspielen, um sie zu finden. Aber 4 könntest du raten, wenn du weißt, dass 16 mal 16 gleich 256 ist. Wir wissen, dass 4 hoch 4, oder das weißt du jetzt, gibt 4 mal 4 mal 4 mal 4, 4 mal 4 gibt 16, mal 4 gibt 64, mal 4 gibt 256. 4 hoch 4 ist also 256. Oder, 4 ist gleich 256 hoch 1/4. Gut so? Jetzt 81. Du könntest 3 raten. 3 hoch 4 ist gleich 3 mal 3 mal 3 mal 3 mal, gibt 81. 3 ist also 81 hoch 1/4. Die Zahl im Zähler, 256 hoch 1/4, die ist 4. 81 hoch 1/4 ist einfach 3. Das hier ist also gleich 4/3.