Einführung in Logarithmen

Lasst uns etwas über die wundervolle Welt der Algorithmen lernen. Wir wissen bereits wie wir Exponenten anwenden. Wenn ich 2 hoch 4 rechne, was heißt das? Naja, es heißt 2 mal 2 mal 2 mal 2. 2 mulitipliziert oder immer wieder multipliziert - vier Mal - und das wird dann 2 mal 2 ist 4 mal 2 ist 8, mal 2 ist 16. Aber lasst uns das Ganze anders betrachten. Wir wissen, dass wir 16 als Ergebnis bekommen wenn wir 2 hoch eine bestimmte Zahl rechnen aber wir wollen wissen, welche Zahl das ist. Zum Beispiel, wenn ich mit 2 beginne und sage ich rechne es hoch eine bestimmte Zahl, welche Zahl müsste es sein um 16 als Ergebnis zu erhalten? Das haben wir ja eben herausgefunden. X wäre in diesem Fall 4. Und das ist wofür wir Logarithmen nutzen, um den Exponenten herauszufinden den wir benutzen müssen, um die entsprechende Zahl zu erhalten. Nun, die Schreibweise die wir benutzen würden um Logarithmen zu kennzeichnen, wäre: log, Basis -- oder, lasst es mich farblich kennzeichnen. Log, Basis 2 -- Ich schreibe die 2 in blau... Log, Basis 2, von 16 ist gleich welcher Zahl - oder, da wir 'x' benutzen in diesem Beispiel - ist gleich dem 'x'? Diese beiden Aussagen sind äquivalent. Das bedeutet "Hey, wenn ich 2 hoch eine Zahl x rechne, dann bekomme ich 16". Das heißt "Welchen Exponenten brauche ich für 2, um 16 zu bekommen und setze das nun gleich mit 'x'". Und Du könntest sagen, "Du musst es hoch 4 rechnen" und das bedeutet x ist gleich 4. Da wir das nun geklärt haben, lasst uns ein paar weitere Beispiele ansehen. Lasst uns sagen wir haben... log, Basis 3, von 81. Was wäre hier das Ergebnis? Als Erinnerung, das heißt welchen Exponenten brauchen wir für 3 um als Ergebnis 81 zu erhalten. Wenn wir also wollen, können wir es gleich 'x' setzen und anschließend die Gleichung umschreiben zu: 3 hoch x ist gleich 81. Warum ist der Logarithmus sinnvoll? - Und Ihr werdet später sehen, dass er ein paar sehr interessante Eigenschaften hat - Aber Ihr müsst nicht unbedingt Algebra nutzen. Um es so zu machne wie hier, um zu sagen, dass 'x' der Exponent ist den wir für 3 benutzen um 81 zu erhalten, dafür haben wir Algebra gebraucht, aber um eine logarithmische Formel zu erstellen haben wir kein Algebra gebraucht, wir mussten nicht sagen, dass es gleich 'x' war, wir können einfach sagen, dass es gleich dem Exponenten ist der für 3 genutzt wird um 81 zu erhalten. Der Exponent den ich für 3 brauche um 81 zu erhalten. Nun, welchen Exponenten brauche ich für 3 um 81 zu erhalten? Naja, lasst uns etwas experimentieren: 3 hoch 1 ist 3. 3 hoch 2 ist 9, 3 hoch 3 ist 27, 3 hoch 4 ist 27 mal 3 ist entsprechend 81. 3 hoch 4 ist also 81. 'x' ist also 4. Also könnten wir sagen... Log, Basis 3 von 81, ist gleich-- ich schreibe es wieder in einer anderen Farbe. Ist gleich 4. Lasst uns noch ein paar Beispiele nehmen und rechnet wirklich selbst mit um es zu verstehen. Lasst uns eine große Zahl nehmen, zum Beispiel log, Basis 6 von 216. Was wird hier das Ergebnis sein? Was wir uns fragen ist: "Welchen Exponenten brauche ich für 6, um 216 zu erhalten? 6 hoch 1 ist 6, 6 hoch 2 ist 36, 36 hoch 6 ist 216. Das ist gleich 216. Also ist 6 hoch 3 gleich 216. Wenn also jemand sagt "Welchen Exponenten brauche ich für 6 - diese Basis hier - um 216 zu erhalten?" Naja, das wäre dann 3. 6 hoch 3 ist 216. Lasst uns noch ein weiteres Beispiel nehmen. Zum Beispiel, log, Basis 2, von 64. Was ist hier das Ergebnis? Wir fragen uns also wieder "Das Ergebnis wird der Exponent den wir benutzen für die Basis 2, und Ihr schreibt das hier unten hin. Den Exponenten den ich habe für 2 um 64 zu erhalten. 2 hoch 1 ist 2, 2 hoch 2 ist 4, 8,16, 32, 64. Das hier ist also 2 hoch 6 und wird gleich 64. Wenn wir also diese Formel in Worte fassen heißt das: "Welchen Exponenten brauchen wir für 2 um 64 zu erhalten." Naja, wir brauchen 6 als Exponenten. Lasst uns ein etwas offensichtlicheres Beispiel nehmen, oder ein weniger offensichtliches, kommt auf Eure Denkweise an. Was ist log, Basis 100, von 1? Denkt mal für eine Sekunde darüber nach. 100 wird unten notiert also ist es log, Basis 100, von 1. Das ist ein Weg darüber nachzudenken und ich benutze Klammern um die 1. Was ist das Ergebnis? Die Frage heißt, oder wir fragen uns, "Welchen Exponenten brauchen wir für 100 um 1 zu erhalten? Ich schreibe das mal zu einer Formel um. Wenn ich das mit 'x' gleichsetze, dann heißt es wortwörtlich: 100, zu welchem Exponenten, ist gleich 1? 100, hoch welcher Zahl, ist 1? Naja, alles mit einer 0 als Exponent ist gleich 1. In diesem Fall ist 'x' also 0. Log, Basis 100, von 1 ist also 0. Log mit der Basis 1 ist immer 0, weil alles hoch 0 gleich 1 ist solange wir nicht von 0 reden. Alles hoch 0 - ungleich 0 - wird also 1.