Einführung in Exponentialfunktionen

In diesem Video möchte ich euch die Grundidee von Exponentialfunktionen näherbringen und einfach zeigen, wie schnell diese Dinger wachsen können. Also, schreiben wir mal eine Exponentialfunktion als Beispiel auf. Nehmen wir an y ist gleich 3 hoch x . Aufgepasst, NICHT x hoch 3, sondern 3 HOCH x. Unsere unabhängige Variable x ist der eigentliche Exponent. Also - machen wir eine Tabelle , um zu sehen , wie schnell diese Sache wächst. Vielleicht zeichnen wir sie gleich auch. Also, nehmen wir mal ein paar werte für x an. Fangen wir an mit x ist gleich minus 4. Dann machen wir weiter mit minus 3, minus 2, dann 0, 1, 2, 3, und 4. und jetzt finden wir heraus, was die y- Werte sein werden, die zu den jeweiligen x-Werten passen. Also, hier wird y 3 hoch minus 4 sein, was dasselbe ist wie 1/3 hoch 4. 3 hoch 3 ist 27, wieder mal drei ergibt 81. Also, ist das gleich 1/81, ein Einundachtzigstel. Wenn x gleich minus 3 ist, ist y gleich 3. Wir machen das lieber in einer anderen Farbe. Die Farbe ist nämlich schwer zu lesen. y ist gleich 3 hoch minus 3. Naja, das ist ein Drittel hoch 3, das ergibt 1/27, ein Siebenundzwanzigstel. Also kommen wir von einer richtig kleinen Zahl zu einer weniger "richtig kleinen" Zahl. Dann kommt 3 hoch minus 2, das ist gleich 1/9, richtig? 1/3 zum Quadrat, und dann haben wir 3 hoch 0, was 1 ergibt. Also es wird ein bißchen größer, noch ein bißchen größer, aber wir werden sehen, daß das gleich explodiert. Gut, wir haben 3 hoch 1, das ist gleich 3. Und wir haben 3 hoch 2, also y ist gleich 3 hoch 2. Das macht 9. 3 hoch 3, 27. 3 hoch 4, 81. Wenn wir jetzt hoch 5 nehmen, 243. Skizzieren wir das, um eine Ahnung zu bekommen, wie rasch das explodiert. Ich zeichne hier meine Achsen. Ich zeichne hier meine Achsen. Hier ist also meine x-Achse und das ist meine y-Achse. das ist meine y-Achse. Ich mache das hier jetzt in EInheiten von 5. weil ich wirklich etwa die Form von dieser Kurve haben möchte. Ich versuche, so gerade wie möglich zu zeichnen. Sagen wir hier ist 5, 10, 15 Hm, so komm ich eher nicht bis 81. Ich will ja 81 erreichen. naja, das ist gut genug. Ich zeichen es doch ein bißchen anders als ich es jetzt gezeichnet habe. Ich zeichne es hier unten, weil doch, wie ihr vielleicht merkt, eh alle Werte positiv sind, weil ich eine positive Basis habe. Gut, ich zeichne das jetzt so. Gut genug. Jetz sagen wir hier ist 10, 20 , 30, 40, 50, 60 , 70, 80. Das dort ist also 80. Hier ist 10. Das ist 30. Das brauchen wir, um den Wert gut zu schätzen. und dann sagen wir hier ist minus 5. Und das ist plus 5, genau da. Ich werde das besser auch noch ein bißchen strecken. Sagen wir hier ist minus 1, minus 2, minus 3 und minus 4 dann kommt 1, 2, 3 und 4. wenn x gleich 0 ist, haben wir hier gleich 1, also, wenn x gleich 0 ist, ist y gleich 1, was in etwa da ist. Wenn x gleich 1 ist, ist y gleich 3, was in etwa da ist. Wenn x gleich 2 ist, ist y gleich 9, was in etwa da ist. Wenn x gleich 3 ist, ist y gleich 27, was in etwa da ist. Wenn x gleich 4 ist, ist y gleich 81. Man sieht sehr schnell , daß das einfach explodiert. Nähme ich 5, hätten wir 243, was nicht einmal mehr auf meinen Bildschirm passt.