Umschreiben von Exponentialausdrücken als A⋅Bᵗ

In diesem Video möchte ich das Vereinfachen von ziemlich schwierigen exponentiellen Ausdrücken üben. Los geht's. Ich habe den Ausdruck 10 ⋅ 9^((t/2) + 2) ⋅ 5^(3t). Ich will diesen Ausdruck so weit wie möglich vereinfachen, und am besten in die Form A ⋅ B^t bringen. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und die Aufgabe selbst, mithilfe deines Wissens über Exponenteneigenschaften, zu lösen. Wir machen es jetzt gemeinsam, hauptsächlich müssen wir die Teile trennen. Die 10 lasse ich erstmal stehen, damit können wir nicht viel machen. Aber es gibt andere interessante Dinge. 9^((t/2) + 2) könnte ich trennen, indem ich folgende Eigenschaften nutze: Wenn ich 9^(a + b) habe, ist das dasselbe wie 9^a ⋅ 9^b. Und 9^((t/") + 2) könnte ich als 9^(t/2) ⋅ 9^2 schreiben. Jetzt kommen wir zu 5^3t. Wenn ich a^bc habe, könntest du es also als 5^(3 ⋅ t) betrachten. Das ist dasselbe wie (a^b)^c. Das ist also dasselbe wie (5³), und dann haben wir t im Exponenten. Das habe ich gemacht, weil ich dann eine Zahl mit t im Exponenten erhalte. Ich will so viele Termen wie möglich mit t im Exponenten haben, um vereinfachen zu können. Das hier ergibt 81. 9^2 = 81. 5^3 ist dasselbe wie 25 ⋅ 5, also 125. Wir kommen gut voran, das einzige, was wir noch vereinfachen müssen, ist 9^(t/2). Das ist dasselbe wie 9^(1/2 ⋅ t). Und wenn wir diese Eigenschaft hier nutzen, ist es dasselbe wie (9^(1/2))^t. Was ergibt 9^(1/2)? Es ergibt 3, also haben wir 3^t. Das ist interessant. Ich habe die 10 vorne, dann multipliziere ich mit 81, und dann mit 3^t. Ich habe nur die Reihenfolge der Multiplikation geändert. Dann multiplizieren wir mit 125^t. 10 ⋅ 81 kann ich einfach multiplizieren, es ergibt 810. Was ergibt 3^t ⋅ 125^t? Hier wird eine weitere Exponenteneigenschaften angewandt. Denn wenn ich (ab)^t habe, ist es dasselbe wie a^t ⋅ b^t. Anders betrachtet: Wenn ich a^t ⋅ b^t habe, ist es dasselbe wie (ab)^t. Hier habe ich 3^t ⋅ 125^t, also ist es dasselbe wie 3 ⋅ 125^t. Diesen Teil hier könnte ich also umändern in (3 ⋅ 125), und dieser ganze Term hat t im Exponenten. Wir sind fast fertig. Vorne steht 810. 3 ⋅ 125 = 375. Wir multiplizieren also mit 375^t. Und weiter können wir nicht vereinfachen. Wir haben die Gleichung in die gewünschte Form gebracht: a ⋅ b^t. Wenn wir es mit dieser Form hier drüben vergleichen, wäre das hier unser a, und unser b wäre 375. Ich weiß, dass es anfangs schwierig aussah, aber wenn du einfach mehrmals Exponenteneigenschaften anwendest, und versuchst, verschiedene Terme mit t im Exponenten zu bekommen, und mithilfe der Eigenschaften vereinfachst, erhältst du eine Form, die nicht so kompliziert ist.