Potenz der imaginären Einheit

Wir haben gesehen, dass, wenn wir i mit immer höheren Exponenten haben, es die Werte 1, i, -1, -i annimmt, und sich dann mit 1, i, -1 und -i wiederholt. Jetzt möchte ich sehen, ob wir ein paar schwierigere Aufgaben lösen können. Du begegnest ihnen vielleicht, und es macht Spaß, festzustellen, dass du diese Eigenschaft der Exponenten von i, diese verschiedenen Werte zu wiederholen, nutzen kannst. Du kannst dieses Wissen dazu benutzen, beliebig hohe Exponenten von i auszurechnen. Finden wir also einfach mal heraus, was i^100 ist. Zuerst bemerken wir, dass 100 ein Vielfaches von 4 ist. Also ist es dasselbe, wie wenn wir i^4 ⋅ 25 schreiben würden. Und das ist genau dasselbe wie (i⁴)^25. Wenn du etwas potenzierst, und das dann wieder potenziert wird, ist es dasselbe, wie wenn du beide Exponenten multiplizierst. Und wir wissen, dass i⁴ einfach nur 1 ist. i⁴ = 1, also ist das 1. Das ist also gleich 1^25, was einfach nur 1 ergibt. Wir nutzen diese wiederholende Eigenschaft von i beim Potenzieren, um einen sehr hohen Exponenten von i herauszufinden. Kommen wir zu einem merkwürdigeren Beispiel. Was ergibt i^501 ? In diesem Fall mit 501 haben wir kein Vielfaches von 4. So einfach ist es also nicht. Was wir aber tun können, ist das als Produkt zweier Zahlen zu schreiben, eine Zahl, die i mit einem Exponenten hat, der ein Vielfaches von 4 ist, und eine, bei der das nicht der Fall ist. Wir schreiben es also um. 500 ist ein Vielfaches von 4. Also schreiben wir es als i^500 ⋅ i^1. Wir haben dieselbe Basis. Wenn du multiplizierst, kannst du Exponenten addieren. Das ergibt also i^501. Und wir wissen, dass i^500 dasselbe ist wie (i⁴)^125. 4 ⋅ 125 = 500. Das ist also dieser Teil hier: i^500. Das ist dasselbe wie (i⁴)^125. Und das alles mal i^1. i⁴ = 1. 1^125 ergibt einfach nur 1. Das alles ergibt 1. Also bleibt nur noch i^1 übrig. Das ergibt also i. Es sieht also sehr kompliziert aus, so als müsstest du den ganzen Tag daran arbeiten, aber du kannst diese Wiederholung ausnutzen, um zu verstehen, dass i^500 einfach nur 1 ergibt. Also ergibt i^501 einfach nur i damit multipliziert. i mit jedem Exponenten, der ein Vielfaches von 4 ist, wir beschränken k mal auf nicht-negative Werte: k ≥ 0. Wenn wir i mit einem Exponenten haben, der ein Vielfaches von 4 ist, erhalten wir 1, da es dasselbe ist wie (i⁴)^k. Und das ist dasselbe wie 1^k, was eindeutig 1 ergibt. Und wenn wir irgendetwas anderes haben, z.B. i^4k + 1 oder i^4k + 2, dann können wir einfach diese Technik hier anwenden. Machen wir ein paar weitere Aufgaben, damit du wirklich verstehst, dass du die verrücktesten Sachen lösen kannst. Nehmen wir i^7321. Wir müssen nur herausfinden, dass es ein Vielfaches von 4 plus etwas anderes ist. Du kannst dir die Zahl also einfach anschauen, und sehen, dass 7320 durch 4 teilbar ist. Du kannst es schriftlich bestätigen. Und dann bleibt 1 übrig. Das ist also i^7320 ⋅ i^1. Das hier ist ein Vielfaches von 4, und ich weiß das, weil jede 1000 ein Vielfaches von 4 ist, jede 100 ein Vielfaches von 4 ist, und 20 ein Vielfaches von 4 ist. Das hier vereinfacht sich also zu 1. Ups, das hier drüben ist natürlich i^1. 7321 = 7320 + 1. Dieser Teil hier wird zu 1 vereinfacht, und es bleibt einfach nur i^1 übrig bzw. i. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Ich versuche mal etwas Interessantes: i^99. Wir überlegen wieder: Was ist das höchste Vielfache von 4, das weniger als 99 ist? Es ist 96. Das ist also dasselbe wie i^96 ⋅ i^3 richtig? Sie haben dieselbe Basis, wenn du sie multiplizierst, würdest du auf i^99 kommen. i^96 ist, da 96 ein Vielfaches von 4 ist, dasselbe wie (i^4)^16. Das ist also einfach 1^16, also 1. Und dann bleibt nur noch i³ übrig. Und dann erinnerst du dich daran, dass i³ = -i ist. Falls du es vergessen hast, kannst du sagen, dass es dasselbe wie i² ⋅ i ist. i² ist als -1 definiert. Es bleibt also -1 ⋅ i = -i übrig. Machen wir noch ein Beispiel. Nehmen wir i^38. Das ergibt i^36 ⋅ i². Ich nehme i^36, da es das größte Vielfache von 4 ist, das in 38 reinpasst. 2 bleiben übrig. Das vereinfacht sich zu 1, i² bleibt übrig, was -1 ergibt.