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Prozent von etwas

Prozent von einer Zahl. Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

Starten wir mit ein paar Aufgaben.. . 1. Aufgabe: was sind 15 Prozent von 40 ? Prozentaufgaben löse ich so, indem ich ... ... die Prozentzahl umwandle in eine Dezimalzahl und dann mit der Zahl multipliziere ... ... von der ich den prozentualen Anteil haben möchte. Also: "15%" als Dezimalzahl ist 0,15. . . Und dann multiplizieren wir diese Zahl mit 40. Also 40 mal 0,15. 5 mal 0 = 0. 5 mal 4 = 20. Platziere hier eine 0. 1 mal 0 = 0 1 mal 4 = 4 Ergibt: 6 0 0 Nun die Dezimalstellen zählen. Eins, Zwei Keine Dezimalstellen hier, das ergibt eins, zwei ... ... und die Dezimalstelle kommt hier her. Also: "15% von 40" ist das gleiche wie "0,15 mal 40" und das ist 6,00. Und "6,00" ist das gleiche wie 6. Nun die nächste Aufgabe. . . Die wird etwas komplizierter. Was ist 0,2 Prozent von 7. Viele lassen sich täuschen und ... ... denken 0,2% ist das gleiche wie 0,2. Aber das ist falsch gedacht ! Denn das ist nicht "0,2 " . Das ist "0,2%" . Man kann sich das auf 2 verschiedene Wege vorstellen. Erster Weg: 0,2 geteilt durch 100, (das Porzentzeichen bedeutet so viel wie: "teile mich durch 100") dann Zähler und Nenner mit 10 multiplizieren das ergibt dann 2 geteilt durch 1000. Der 2. Weg ist die Komma - Schiebetechnik. Das Komma einfach um zwei Stellen nach links verschieben (andere Länder verwenden einen Punkt "." wie hier). Wenn wir also mit "0,2" starten ... ... und gehen 2 Stellen nach links ... . also 2 Stellen mal nach links Dann kommt hier das Dezimalzeichen hin. Das ergibt dann 0,002. Das ist die Technik. "0,2%" ist das gleiche wie "0,002". Dieser Fehler kann jedem leicht passieren, ... ... darum nicht so tragisch nehmen wenns mal passiert. Also immer Vorsicht, wenn "," und "%" zusammen treffen. Nun, da wir wissen ... ... was "0,2%" als Dezimalzahl ist (nähmlich 0,002), ... ... müssen wir es noch mit der Zahl mulitplizieren, von der wir den prozentualen Anteil wissen wollen. Also multiplizieren wir 0,002 mit 7. Das geht einfach ... 7 mal 2 ist 14. Und wie viele Nachkommastellen haben wir in Summe? Und wie viele Nachkommastellen haben wir in Summe? . Das sind: eins - zwei - drei Also brauchen wir eins - zwei - drei Stellen hinter dem Dezimalzeichen. Also: 0,2 Prozent von 7 ist gleich 0,014 Junge, Junge, das sieht wie eine recht kleine Zahl aus. Junge, Junge, das sieht wie eine recht kleine Zahl aus. Und das macht Sinn. Denn wenn man darüber nachdenkt ... ... ist 0,2% sogar noch kleiner als 1 Prozent. Und das ist noch kleiner als ein Hundertstel. Und 0,2% ist 1/500 Und wenn man 7 / 500 ausrechnet kommt man auf diese Zahl. Und wenn man 7 / 500 ausrechnet kommt man auf diese Zahl. Und es ist wichtig das zu tun. Es ist immer gut eine Realitätsprüfung zu machen ... ... wenn mann diese Dezimal- und Prozentaufgaben rechnet. Da passiert es leicht, dass man mal einen Faktor 10 da oder dort verliert ... ... Oder hinzu gewinnt. Daher immer eine Realitätsprüfung machen um zu sehen ob das Ergebnis stimmen kann. Nun wirds noch verwirrender. Nächste Aufgabe: "4" ist 20 Prozent von welcher Zahl? Viele denken reflexartig ... ... ich nehme mal 20 Prozent ... ... also 0,20 ... und multipliziere das mit 4. Und das wäre wiederum falsch gedacht ! Warum? Die Aufgabe ist NICHT: was sind 20% von 4 . Die Aufgabe ist: 20% von einer bestimmten Zahl ist 4. Dafür brauchen wir jetzt etwas Algebra. . x sei diese Zahl. Die Aufgabe lautet somit: 20% von x ist 4. Nun wird die Aufgabe vielleicht etwas transparenter. Was ist 20% als Dezimalzahl ? Das ist 0,20 oder 0,2. Und das multiplizieren wir mit x um 4 zu erhalten. Also: 20% ist das gleiche wie 0,2. Und das ist das gleiche wie die 0,20 ohne die letzte Null die hier keine weitere Bedeutung hat. 0,2 mal x ist gleich 4. Und nun haben wir eine lineare Gleichung ersten Grades. . . Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten: man kann beide Seiten mit dem Koeffizient von x teilen . Also linke Seite durch 0,2 dividieren und auch die rechte Seite Und so erhält man x ist gleich 4 geteilt durch 0,2. Jetzt rechnen wir aus, was 4 geteilt durch 0,2 ist. . Wie oft geht 0,2 in 4? Um das auszurechnen ... ... verschieben wir das Komma (Punkt) nach rechts. Also bekommen wir hier eine 2 ... ...und verschieben auch hier das Komma nach rechts. 0,2 passt also sooft in 4 wie ... ... 2 in 40 passt. Einfach ! 2 passt wie oft in die 40? In 4 passt die 2 zwei mal in 0 passt die 2 null mal Das geht auch im Kopf . Also ist 4 geteilt durch 0,2 gleich 20. Die Antwort ist also: 4 ist 20 Prozent von 20. Macht das Sinn? Das kann man unterschiedlich betrachten. 20 Prozent ist genau ein fünftel. Und 4 mal 5 ist 20. Das passt. Zur Sicherheit können wir das ja nochmal überprüfen. Nehmen wir 20% von 20. 20% von 20 ist gleichbedeutend wie 0,2 mal 20. Wenn man das ausrechnet ergibt das 4. Damit haben wir das Ergebnis überprüft. Machen wir noch eine weitere Übung. Ich wähle die Zahlen zufällig aus. Hier die Aufgabe: 3 ist 9 Prozent von welcher Zahl? Nochmal Algebra: x sei die Zahl von der 3 genau 9 Prozent ist. Das braucht man so nicht hinzuschreiben. Wir wissen nun: "0,09 x" bedeutet "9 Prozent von x". Also 9 Prozent von x ist gleich 3. Oder: x ist gleich 3 geteilt durch 0,09. Nun führen wir die Division durch: 0.09 geht wie oft in 3? Wir machen hier ein Dezimalzeichen hin. Ich weiß noch nicht wie viele Nullen wir brauchen. Ich verschiebe das Dezimalzeichen zwei mal nach rechts. das mache ich auch auf der rechten Seite. Also: 0,09 passt genau so oft in 3 wie 9 in 300 rein passt. In 30 passt 9 drei (3) mal hinein. 3 mal 9 ist 27. Das sieht bereits nach einem Muster aus 30, 3, 3 mal 9 ist 27. Man bekommt immer wieder 3 - 3 - 3 für immer und ewig 3 - 3 - 3 Das Ergebnis ist nun: 3 ist 9 Prozent von 33,3 33,3 Periode, d.h. die dreier hören nie auf (33,33333...) 0,3 Periode (als0 0,33333...) ist das gleiche wie 1/3 Also: 3 ist 9 Prozent von 33 und 1/3 Beide Antworten sind richtig Und häufig möchte man beim Prozentrechnen tatsächlich nur eine grobe Abschätzung haben. Die Präzision ist nicht immer das allerwichtigste. Aber in diesem Fall sind wir präzise. Und offensichtlich muss man in Klassenarbeiten und Tests sehr wohl präzise sein. Hoffentlich war das nicht zu schnell und ein gewisses Gespühr für Prozentrechnen ist entstanden. Wichtig bei dieser Art von Aufgaben ist, genau darauf zu achten ... ... wie das Problem formuliert ist. Wenn es heißt: 10 Prozent von 100 das ist leicht. Man muss einfach die 10% in eine Dezimalzahl umwandeln und mit 100 multiplizieren. Aber wenn die Formulierung lautet: 100 ist 10 Prozent von welcher Zahl? Dann muss man sich daran erinnern, dass das eine andere Problemstellung ist. In diesem Fall gilt: 100 ist 10 Prozent von ... und wenn man das ausrechnet ... kommt dabei 1000 heraus. Ich denke, in diesem Modul hatten wir ein flottes Tempo ... ... und ich hoffe, dass es nicht zu verwirrend war. Aber ich werde mehr davon aufnehmen.