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Mehr Prozent-Probleme

Etwas schwerere Prozentaufgabe. Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

Nehmen wir an, ich gehe in einen Laden und habe 50€ dabei. Ich habe 50€ in meinem Portemonnaie. Ich habe 50€ in meinem Portemonnaie. Und in dem Laden gibt es an diesem Tag einen Rabatt von 25% auf den Marktpreis. 25% auf den Marktpreis bedeutet, wenn der Marktpreis 100€ ist, ist der Preis den ich bezahlen muss 25% weniger als 100€. Meine Frage an euch ist, wenn ich 50€ habe, wie hoch ist der höchste Marktpreis, den ich mir noch leisten kann? Denn das muss ich schließlich wissen bevor ich etwas finde, was mir gefällt. Also benutzen wir ein wenig Algebra. Sei x der höchste Marktpreis, den ich mir noch leisten kann. Wenn es einen Rabatt von 25% auf x gibt, könnten wir sagen, dass der neue Preis, der Verkaufspreis, x minus 25% von x beträgt. Das ist der Verkaufspreis. Und ich nehme an, dass ich in einem Land ohne Verkaufssteuer bin. Der Verkaufspreis ist das, was ich in bar bezahlen muss. x minus 25% von x ist gleich dem Verkaufspreis. Der Rabatt ist 25% von x. Und wir wissen, dass dies das Gleiche ist wie x minus 0,25x. Und wir das - nun, weil wir wissen, dass das 1x ist. x ist das Gleiche wie 1x. 1x minus 0,25x. Das bedeutet, dass 0,75x gleich dem Verkaufspreis ist, richtig? Alles was ich getan habe, ist x minus 25% als 1x minus 0,25x zu schreiben. Und das ist das Gleiche wie 0,75x. Weil 1 minus 0,25 gleich 0,75 ist. 0,75x ist also der Verkaufspreis. Was ist also der Verkaufspreis den ich mir leisten kann? Der Verkaufspreis, den ich mir leisten kann, ist 50€. 0,75x ist also gleich 50€. Wenn x größer ist als die Zahl nach der ich auflöse, dann ist der Verkaufspreis höher als 50€ und ich kann es mir nicht mehr leisten. Das Höchste, das ich bezahlen kann sind 50€, und das ist der Verkaufspreis. Erinnern wir uns, wie wir solche Aufgaben bisher gelöst haben. Wir teilen beide Seiten durch 0,75. Und wir sagen, dass der höchste Marktpreis, den ich mir leisten kann, 50€ geteilt durch 0,75 ist. Nun finden wir heraus was das ist. 0,75 passt in 50 - wir fügen einige Nullen hinten dazu. Wir nehmen dieses Komma und verschieben es zwei Stellen nach rechts. Wir nehmen dieses Komma und verschieben es zwei Stellen nach rechts. 0,75 passt in 50 also genauso oft wie 75 in 5.000. Ok, auf gehts. 75 passt Null mal in 50. 75 passt in 500 - lass mich kurz nachdenken. Ich denke es passt sechs mal hinen. Denn sieben mal wäre zu viel. Es passt also sechs mal hinen. 6 mal 5 ist 30. 6 mal 7 ist 42. Plus 3 ist 45. Der Rest ist also 50. Ich sehe ein Muster. Ziehe die 0 runter. Und dann das Gleiche noch einmal. 75 passt sechs mal in 500. 6 mal 75 ist 450. Das gleiche Muster wird sich wieder und wieder und immer weiter wiederholen. Es ist also 66,666 - ich hoffe du denkst nicht, dass ich ein böser Mensch bin, wegen dieser Zahl, die zufällig die Lösung ist. Wie dem auch sei, der höchste Verkaufspreis den ich mir leisten kann, oder der höchste Marktpreis den ich mir leisten kann ist 66€. und 67 Cent, wenn ich aufrunde. wenn ich bis zum nächsten Cent runde. Wenn ich das als eine sich wiederholende Dezimalzahl schreiben würde, könnte ich es als 66,66 Periode schreiben. Oder ich weiß das 0,6666 unendlich fortgeführt das Gleiche ist wie 2/3. Es ist also 66 und 2/3. Aber da wir mit Geld rechnen, und wir rechnen mit Euro, sollten wir einfach zum nächsten Cent runden. Der höchste Markpreis, den ich mir leisten kann ist also 66,67€. Wenn ich also ein tolles paar Schuhe für 55€ sehe, kann ich mir das leisten. Wenn ich einen schönen Schlips für 70€ sehe, kann ich mir ihn mit den 50€ in meiner Tasche nicht leisten. Hoffentlich lehrt euch das nicht nur ein bisschen Mathe, sondern hilft euch auch beim Shopping. Lass mich dir eine weitere Aufgabe stellen. Eine sehr interessante. Wir beginnen mit einer zufälligen - lass uns eine fixe Zahl wählen. Lass uns mit 100€ beginnen. Zahl wählen. Lass uns mit 100€ beginnen. Und nach einem Jahr wachsen diese um 25%. Und im nächsten Jahr, das nennen wir Jahr zwei, vermindern sie sich um 25%. Das hätte an der Börse passieren können. Das erste Jahr ist ein gutes Jahr. Mein Portfolio wächst um 25%. Das zweite Jahr ist ein schlechtes Jahr und mein Portfolio sinkt um 25%. Meine Frage ist nun, wie viel Geld habe ich am Ende des zweiten Jahres? Viele Leute würden wohl sagen, das ist ganz einfach, Sal. Wenn es um 25% wächst und dann um 25% sinkt, dann habe ich am Ende genauso viel Geld wie am Anfang. Aber ich werde euch zeigen, dass es nicht ganz so einfach ist, da 25% in den beiden Fällen unterschiedliche Geldbeträge sind. Ok, dann lösen wir das mal. Wenn ich mit 100€ starte und diese um 25% anwachsen - 25% von 100€ sind 25€. Mein Geldbetrag wächst also um 25€. Also habe ich dann 125€. Nach einem Jahr habe ich 125€. Und diese 125€ verringern sich nun um 25%. Wenn etwas um 25% sinkt, ist das das Gleiche wie 0,75 oder 75% von dem was ich vorher hatte, richtig? 1 minus 25%. 0,75 mal 125€. Lass uns das lösen. 125€ mal 0,75. Und nur für den Fall das du verwirrt bist, ich will es nicht zu oft wiederholen, aber wenn etwas um 25% sinkt, ist es 75% von seinem ursprünglichen Wert. Wenn also 125€ um 25% sinken, sind es nun 75% von 125€ oder 0,75 mal 125€. Rechnen wir das aus. 5 mal 5 ist 25. 2 mal 5 ist 10, plus 2 ist 12. 1 mal 5-- 7 7 mal 5 ist 35. 7 mal 2 ist 14. Plus 3 ist 17. Sorry. 7 mal 1 ist 7. Plus 1 mal 8. Es ist also 5, 7, und dies ist 7. 14. 9. 94,75 richtig? Zwei Nachkommastellen. 94,75. Das ist interessant. Wenn ich mit 100€ starte, und dann wächsen diese um 25%, und dann verringern sich diese um 25%, habe ich weniger Geld als am Anfang. Vielleicht denkst du einmal darüber nach, warum das so ist. Denn 25% von 100€ ist der Betrag den ich dazugewinne. Und dieser Betrag ist kleiner als der Betrag, den ich verliere. Ich verliere 25% von 125€. Das ist ziemich interessant, findest du nicht? Das ist sehr interessant, wenn viele Leute- ok, ich will nicht mit der Börse anfangen - Erträge und ähnliches vergeleichen. Aber ich denke, das ist sehr interessant. Du solltest das mal mit anderen Beispielen ausprobieren. Es ist interessant darüber nachzudenken, bei welchem Gewinn du welchen Prozentsatz jeweils verlieren müsstest, um am Ende genauso viel zu haben wie am Anfang. Das ist ein anderes interessantes Projekt. Vielleicht mache ich das mal in einem anderen Video. Wie dem auch sei, ich denke du bist jetzt bereit für einige verflixt schwere Prozentaufgaben. Ich hoffe du hast Spaß dabei! Machs gut.