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Durchschnitte

Einführung in die Durchschnittswerte und Algebra Probleme im Zusammenhang mit Durchschnittswerten. Erstellt von Sal Khan

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Willkommen zur Präsentation über Mittelwerte. Mittelwerte oder Durchschnitte hast du wahrscheinlich schon verwendet, vielleicht nicht in der Mathematik. Man sagt, der durchschnittliche Wähler möchte etwas von einem Politiker, oder der durchschnittliche Schüler in einer Klasse will früh nach Hause. Du kennst also schon den Begriff Durchschnitt oder Mittelwert. Du weisst wahrscheinlich schon instinktiv, dass ein Mittelwert eine Zahl ist, die stellvertretend für eine Gruppe von verschiedenen Werten steht. Er kann das als einzelne Zahl repräsentieren, anstatt alle Werte aufzulisten. Schauen wir einige Beispiele an, wie man einen Mittelwert berechnet, du weisst das vielleicht schon. Nehmen wir die Zahlen 1, 3, 5 und 20. Wenn ich dich frage: was ist der Mittelwert von diesen vier Zahlen? Zuerst addieren wir einfach die Zahlen, und dann dividieren wir durch die Anzahl der Zahlen. Also 1 plus 3, ist 4. Schreiben wir das hin: 1 plus 3 plus 5 plus 20 ist gleich-- 1 plus 3 ist 4. 4 plus 5 ist 9. 9 plus 20 ist 29. Richtig? Und wir hatten vier Zahlen: 1, 2, 3, 4. 4 geht in 29 7 mal, macht 28. dann haben wir 10-- die Dezimalstelle müsste ich vielleicht nicht ausrechnen, aber machen wir es eben. 2, 8, 20-- 5. 4 geht in 29 7,25 mal hinein. Der Mittelwert dieser vier Zahlen ist also gleich 7,25. Das sieht einleuchtend aus, denn 7,25 liegt irgendwo zwischen diesen Zahlen. Wir können 7,25 als unseren Repräsentanten für diese vier Zahlen angeben, ohne dass wir alle vier einzeln auflisten müssten. Später lernst du andere Repräsentationen, den Modus zum Beispiel. Das arithmetische Mittel, zu dem wir später kommen, ist dasselbe wie dieser Mittelwert hier. Ein Mittelwert ist also eine einzelne Zahl, die verschiedene Werte repräsentieren kann. Machen wir jetzt einige Aufgaben, die dir wahrscheinlich am Herzen liegen. Auf die ersten vier Tests einer Prüfung habe ich--- sagen wir-- 80, 81, 87 und 88 Punkte bekommen. Was ist mein Durchschnitt in diesem Fach bis jetzt? Ich muss diese Zahlen addieren, also 80 plus 81 plus 87 plus 88. Nun, 0 plus 1 ist 1. 1 plus 7 ist 7-- oh, 8. 8 plus 8 gibt 16. Ich bin eben 8 Meilen gelaufen, daher bin ich etwas müde. Und 4 mal 8, das sind 32. Plus 1 ist 33. Jetzt dividieren wir diese Zahl durch 4. 4 geht in 336 geht in 33 8 mal. 8 mal 4 ist 32. 33 minus 32 ist 1-- 16, 4. Der Durchschnitt ist also gleich 84. Je nach Schule ist das B oder C. Mein Durchschnitt nach den ersten 4 Prüfungen ist 84. Machen wir das etwas schwieriger. Wir wissen, dass der Durchschnitt nach 4 Prüfungen gleich 84 ist. Jetzt frage ich dich: was müsstest du auf den nächsten Test bekommen, um auf einen Durchschnitt von 88 zu kommen? Sagen wir, ich bekomme x auf den nächsten Test. Sagen wir, ich bekomme x auf den nächsten Test. Was wir schon wissen: die ersten 4 Prüfungen, die kann ich entweder einzeln hinschreiben, Oder ich weiss den Mittelwert schon. Also die Summe der ersten 4 Prüfungen ist 4 mal 84. Jetzt addieren ich, was ich in der 5. Prüfung bekomme. Das dividiere ich dann durch alle 5 Prüfungen. Das hier ist also der Durchschnitt meiner ersten 5 Prüfungen. Zuvor hatten wir den Durchschnitt der ersten 4 Prüfungen berechnet. Jetzt addieren wir die ersten 4 Prüfungen, addieren das, was ich in der 5. Prüfung bekomme, dividiert durch 5, weil wir jetzt den Durchschnitt von 5 Prüfungen berechnen. Und ich sagte, dass ich einen Durchschnitt von 88 möchte. Jetzt lösen wir das nach x auf. Ich mache etwas Platz hier. Also 5 mal 88: 5 mal 80 ist 400, also 440. 440 ist gleich 4 mal 84, das habe wir eben gerechnet, das war 320 plus 13, gibt 336. 336 plus x ist gleich 440. Wenn du jetzt 336 von beiden Seiten subtrahierst, bekommst du x ist gleich 104. Also, wenn es sich nicht um eine Prüfung mit Bonusaufgaben handelt, dann ist es wahrscheinlich unmöglich, auf einen Schnitt von 88 zu kommen mit lediglich der nächsten Prüfung. Du müsstest 104 Punkte in dieser nächsten Prüfung bekommen. Schauen wir, was wir jetzt gemacht haben: Wir sagten, nach 4 Prüfungen hatten wir 84. Was muss ich für die nächste Prüfung bekommen, um 88 im Durchschnitt zu haben, nach 5 Prüfungen? Das bekamen wir, als wir nach x aufgelöst haben. Noch eine Frage. Nach 4 Prüfungen war mein Durchschnitt 84. Gäbe es in dem Fach 6 Prüfungen, und das beste Ergebnis, das ich bekommen kann wäre 100, was ist der beste Durchschnitt, den ich in diesem Fach noch erreichen kann, wenn ich ganz viel lernen und 100 auf die nächsten beiden Prüfungen bekommen würde? Noch einmal, wir nehmen an, dass wir 100 Punkte in den nächsten beiden Prüfungen bekommen, und dann berechnen wir den Mittelwert. Wir müssen alle 6 Prüfungen mit einrechnen, also haben wir einen Mittelwert aus 6, im Nenner steht daher 6. Die ersten 4 Prüfungen, die Summe, das haben wir schon gerechnet, ist 4 mal der Mittelwert 84. Der Punkt ist ein Mal-Zeichen. Und es gibt noch 2 weiter Prüfungen, richtig? Weil es 6 Prüfungen in diesem Fach gibt. Und ich bekomme 100 in jedem Test. Das sind 200. Und der Mittelwert? Nun, 4 mal 84, sagten wir schon, ist 336. Plus 200, durch 6. Das ist 536 durch 6. 6 geht in 536-- vielleicht habe ich nicht genug Platz gelassen. Aber 6 geht in 53, 8 mal. 48. 56. 9 mal. 9 mal 6 ist 54. minus 6 gibt 20, 6 geht in-- das gibt 89,3333333 ohne Ende. Also 89,3 periodisch. Also egal wie viel ich in diesem Fach noch arbeite, das Beste, was ich erreichen kann, weil ich nur 2 Prüfungen übrig habe. Sogar wenn ich 100 für die nächsten beiden Prüfungen bekäme, könnte ich das Fach mit 89.3333 abschliessen. Das war hoffentlich eine kleine Wiederholung für dich, Du wusstest schon, was ein Mittelwert ist. Und die beiden letzten Aufgaben haben dir nicht nur gezeigt, wie du Algebra-Aufgaben mit Mittelwerten löst, sondern auch, gezeigt, wie gut du in deinen Prüfungen sein musst, um ein Sehr Gut in Mathe zu bekommen. Jetzt bist du glaube ich bereit für den Mittelwerte-Teil. Viel Spass!