Zusammengesetzte Ungleichungen: UND

Löse nach y auf. Wir haben: 3y plus 7 ist kleiner als 2y und 4y plus 8 ist größer als minus 48. Wir brauchen alle y, die beide Bedingungen erfüllen. Lösen wir in jeder Bedingung einfach nach y und nicht dieses "und" vergessen! Also haben wir 3y plus 7 ist kleiner als 2y. Isolieren wir die y links. Dieses 2y hier rechts müssen wir loswerden, indem wir von beiden Seiten 2y abziehen. Wir ziehen auf beiden Seiten 2y ab. Links steht jetzt 3y - 2y, das ist einfach y, plus 7 ist kleiner als 2y minus 2y. Da steht nichts anderes. Das ergibt einfach nur 0. Und diese 7 werden wir los indem wir von beiden Seiten 7 abziehen. Wir ziehen 7 von beiden Seiten ab. Links steht y plus 7 minus 7. Das gleicht sich aus. Übrig bleibt y ist weniger als 0 minus 7, ergibt -7. Das ist also eine der Bedingungen. Diese hier. Jetzt klären wir die andere Bedingung. Hier steht 4y plus 8 ist größer als minus 48. Wir wollen die 8 hier links loswerden. Wir ziehen von beiden Seiten 8 ab. Links steht nur noch 4y weil sich das Andere ausgleicht. 4y ist größer als minus 48 minus 8. Gehen wir 8 negative weiter. 48 plus 8 wäre 56, also wird das negative 56. Um das y zu isolieren teilen wir beide Seiten durch plus 4. Die Ungleichung müssen wir nicht umdrehen, da wir durch eine positive Zahl teilen. Dividieren wir beide Seiten durch 4. Dann haben wir y ist größer als -- was ist denn 56 geteilt durch 4, oder minus 56 geteilt durch 4? Mal sehen, 40 ist schon mal 10 mal 4, dann haben wir noch 16 über, also ist 56 gleich 14 mal 4. Somit ist y größer als minus 14. Stimmt das? 4 mal 10 ist gleich 40, 4 mal 4 gleich 16. Ja, 56. Damit ist y größer als -14 und-- erinnern wir uns, wir haben dieses "und"-- und y ist kleiner als -7. Wir haben beide Bedinungen erfüllt. Zeichnen wir sie auf dem Zahlenstrahl ein. Hier ist der Zahlenstrahl. Sagen wir, hier ist -14. Dann negative 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, -- da ist minus 7-- und dann negative 6, 4, 3, 2, 1. Hier wäre 0, und dann könnte man mit den positiven Zahlen weitermachen. Wir suchen alle y, die kleiner als -7 sind. Schauen wir mal, kleiner als -7. Die -7 selbst zählt nicht mit, deshalb zeichnen wir einen leeren Kreis um -7 und kleiner als -7. Wäre das die einzige Bedingung, würden wir links immer weiter gehen. Aber wir haben noch die zweite Bedingung-- und y muss größer als -14 sein. Also machen wir einen Kreis um -14, und alles größer als das. Hätten wir nicht diese andere Bedingung, könnten wir hier einfach weitergehen. Aber die y, die beide Bedingungen erfüllen sind alle dazwischen. Hier sind alle y die weniger als -7 UND größer als -14 sind. Wir können auch prüfen, ob sie passen. Probieren wir ein paar Werte einfach aus. Eine Zahl die hier ginge, na ja, wir nehmen mal die -10 hier, 8, 9, da ist -10. Das sollte klappen. Probieren wir es. Wir hätten 3 mal -10 plus 7 sollte weniger sein als 2 mal -10. Das ist -30 plus 7, gleich -23, was tatsächlich weniger als -20 ist. Das funktioniert also. Und -10 muss auch hier gehen. Wir haben 4 mal -10, das ist -40, plus 8. -40 plus 8 sollte größer als -48 sein. Na ja, -40 plus 8 ist gleich -32. Wir gehen quasi 8 in die positive Richtung, wir werden weniger negativ. Und -32 ist größer als -48. Es ist weniger negativ. Also geht das. -10 passt. Jetzt prüfen wir mal etwas, was nicht gehen sollte. 0 sollte eigentlich nicht passen. Es ist nicht in der Lösungsmenge enthalten. Probieren wir es mal. Wir haben 3 mal 0 plus 7. Das ist gleich 7. Und 7 ist nicht weniger als 0. Diese Bedingung wird also nicht erfüllt, wenn wir hier eine 0 einsetzen. Setzten wir hier eine -15 ein, sollte es diese Bedingung nicht erfüllen, da es nichte in dieser Lösungsmenge enthalten war. Hoffentlich fandet ihr das hilfreich.