Beispiel zu zusammengesetzten Ungleichungen

Wir betrachten heute zusammengesetze Ungleichungen. Wir betrachten heute zusammengesetze Ungleichungen. Das sind Ungleichungen, die mehr als eine Bedingung haben. Das sind Ungleichungen, die mehr als eine Bedingung haben. Du wirst gleich sehen, wovon ich spreche. Die erste Aufgabe lautet: -5 ist kleiner-gleich x minus 4 und x minus 4 ist kleiner-gleich 13. Die erste Aufgabe lautet: -5 ist kleiner-gleich x minus 4 und x minus 4 ist kleiner-gleich 13. Wir haben hier zwei Bedingungen, die x erfüllen muss. Wir haben hier zwei Bedingungen, die x erfüllen muss. x minus 4 muss größer-gleich -5 sein, und x minus 4 muss kleiner-gleich 13 sein. Wir könnten das auch so schreiben: -5 muss kleiner-gleich x minus 4 sein, UND x minus 4 muss kleiner-gleich 13 sein. Dann können wir die Ungleichungen einzeln lösen. Wenn wir über die Lösungsmenge nachdenken, müssen wir an das "und" denken, denn wir müssen diese UND diese Bedingung erfüllen. Wir lösen die Ungleichungen separat. Zunächst addieren wir bei dieser hier 4 auf beiden Seiten. Zunächst addieren wir bei dieser hier 4 auf beiden Seiten. Zunächst addieren wir bei dieser hier 4 auf beiden Seiten. Auf der linken Seite erhalten wir -5 plus 4, das ist -1. -1 ist kleiner-gleich x, nicht wahr? 4 hebt sich auf und du erhältst x auf der rechten Seite. 4 hebt sich auf und du erhältst x auf der rechten Seite. Dieser Teil hier vereinfacht sich zu x größer-gleich -1, Dieser Teil hier vereinfacht sich zu x größer-gleich -1, -1 ist kleiner-gleich x. Wir können es auch so schreiben. x muss größer-gleich -1 sein. Diese Ausdrücke sind äquivalent. Ich habe nur die Seiten getauscht. Nun schauen wir uns die andere Bedingung an. Nun schauen wir uns die andere Bedingung an. Wir addieren 4 auf beiden Seiten. Wir addieren 4 auf beiden Seiten. Auf der linken Seite erhalten wir x. Auf der rechten Seite erhalten wir 13 plus 4, das ist 17. Auf der rechten Seite erhalten wir 13 plus 4, das ist 17. Damit ist x kleiner-gleich 17. Nun, für die zweite Bedingung muss x größer-gleich -1 sein und kleiner-gleich 17. Wir können das auch als zusammengesetzte Ungleichung aufschreiben. Wir können das auch als zusammengesetzte Ungleichung aufschreiben. Für die Lösungsmenge muss x kleiner-gleich 17 sein UND größer-gleich -1. Für die Lösungsmenge muss x kleiner-gleich 17 sein UND größer-gleich -1. Für die Lösungsmenge muss x kleiner-gleich 17 sein UND größer-gleich -1. Beide Bedingungen müssen erfüllt sein. Wie sähe dies nun auf einem Zahlenstrahl aus? Wir zeichnen einen Zahlenstrahl. Hier ist 17. Und hier 18. Und wir gehen weiter runter. Hier ist 0. Dazwischen fehlen natürlich einige Markierungen. Dann wäre -1 ungefähr hier. Hier -2. Da x größer-gleich -1 ist, starten wir bei -1. Wir kreisen den Punkt ein, und malen ihn aus, da hier ein 'größer-gleich' steht. Und dann soll x größer, aber kleiner-gleich 17 sein. Und dann soll x größer, aber kleiner-gleich 17 sein. Also gleich 17 oder kleiner als 17. Also, dies hier ist die Lösungsmenge, in orange gekennzeichnet. Und wenn wir das als Intervall schreiben würden, läge x zwischen -1 und 17. x kann gleich -1 sein, daher setzten wir eine eckige Klammer, und ebenso gleich 17. Das ist die Intervallnotation für die zusammengesetzte Ungleichung hier. Das ist die Intervallnotation für die zusammengesetzte Ungleichung hier. Lass uns noch eine Aufgabe machen. Lass uns noch eine Aufgabe machen. Lass uns noch eine Aufgabe machen. Wir nehmen -12. Ich verändere die Aufgabe, die ich hier stehen habe etwas. Ich verändere die Aufgabe, die ich hier stehen habe etwas. -12 ist kleiner als 2 minus 5x, und kleiner-gleich 7. Ich wollte eine Aufgabe nehmen, bei der 'kleiner' und 'kleiner-gleich' vorkommt. Ich wollte eine Aufgabe nehmen, bei der 'kleiner' und 'kleiner-gleich' vorkommt. Bei der Aufgaben im Buch war hier ein Gleichheitszeichen, aber ich habe dies bewusst entfernt, da ich dir noch eine gemischte Situation zeigen wollte. da ich dir noch eine gemischte Situation zeigen wollte. Wir können diese wieder in zwei normale Ungleichungen umschreiben. Du hast diese Ungleichung hier. Wir wissen, dass -12 kleiner als 2 minus 5x sein muss. Diese Bedingung muss erfüllt werden, UND-- ich mache das in einer anderen Farbe-- und diese Ungleichung muss ebenso erfüllt werden. 2 minus 5x muss kleiner-gleich 7 und größer als -12 sein. 2 minus 5x muss kleiner-gleich 7 und größer als -12 sein. 2 minus 5x muss kleiner-gleich 7 sein. Gut, lass uns das so lösen wie wir es immer machen. Lass uns die 2 hier auf die linke Seite bringen. Wir subtrahieren 2 von beiden Seiten. Wenn du 2 von beiden Seiten subtrahierst, wird die linke Seite -14 und das ist weniger als -- das hebt sich auf -- kleiner als -5x. Nun teilen wir noch beide Seiten durch -5. Bestimmt erinnerst du dich, dass sich das Ungleichheitszeichen umkehrt, wenn du eine negativen Zahl multiplizierst oder dividierst. Wenn du also beide Seiten durch -5 dividierst, erhältst du -14 geteilt duch -5, und auf der rechten Seite x. Und das Ungleichheitszeichen ändert sich von einem 'kleiner-als' zu einem 'größer-als' Zeichen. Das Minuszeichen hebt sich auf, und du erhältst 14/5 größer x, oder x ist kleiner als 14/5, und das ist-- Was ist das? Das ist 2 4/5. x ist kleiner 2 4/5. Ich habe diesen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umgeschrieben. Nun betrachten wir die zweite Bedingung, hier drüben in Magenta. Wir subtrahieren 2 von beiden Seiten, so wie auch vorhin. Du könntest auch beide Bedingungen gleichzeitig lösen, aber das kann verwirrend werden. Du könntest auch beide Bedingungen gleichzeitig lösen, aber das kann verwirrend werden. Um Fehler zu vermeiden ist es daher besser dies in zwei Schritten zu machen. Um Fehler zu vermeiden ist es daher besser dies in zwei Schritten zu machen. Wenn du 2 von beiden Seiten abziehst, erhältst du auf der linken Seite -5x. -5x ist dann kleiner-gleich-- Auf der rechten Seite-- 7 minus 2 also 5. Nun musst du nur noch beide Seiten durch -5 teilen. Auf der linken Seite erhältst du x. Auf der rechten Seite ergibt 5, geteilt duch -5. Das ist -1. Auf der rechten Seite ergibt 5, geteilt duch -5. Das ist -1. Und da wir durch eine negative Zahl geteilt haben, kehrt sich das Ungleicheitszeichen um. Und da wir durch eine negative Zahl geteilt haben, kehrt sich das Ungleicheitszeichen um. Es ändert sich von 'kleiner-gleich' zu 'größer-gleich'. Es ändert sich von 'kleiner-gleich' zu 'größer-gleich'. Damit haben wir nun unsere beiden Bedingungen. x muss kleiner als 2 4/5, und größer-gleich -1 sein. x muss kleiner 2 4/5, und größer-gleich -1 sein. Wir können es so aufschreiben. x muss größer-gleich -1 sein, das wäre also die untere Grenze unseres Intervalls. Und x muss kleiner als 2 4/5 sein. Und x muss kleiner als 2 4/5 sein. Und, aufgepasst, 'kleiner', nicht 'kleiner-gleich'. Das wollte ich dir zeigen, 2 4/5 ist nicht in der Lösungsmenge enthalten, daher setze ich hier eine runde Klammer. x muss kleiner als 2 4/5 sein. Wir könnten es auch so schreiben. x muss kleiner als 2 4/5 sein, das ist diese Ungleichung hier, mit vertauschten Seiten, und x muss größer-gleich -1 sein. Diese beiden Aussagen sind äquivalent. Auf einem Zahlenstrahl sähe dies so aus. Auf einem Zahlenstrahl sähe dies so aus. Hier ist -1 und 2 4/5 hier drüben. Dazwischen liegen natürlich auch Zahlen. 0 liegt in etwa hier. x soll größer-gleich -1 sein, daher schließen wir -1 mit ein. x kann größer als -1 sein und dazu kleiner als 2 4/5. 2 4/5 ist nicht in der Lösungsmenge enthalten. x kann nicht gleich 2 4/5 sein, nur kleiner, und daher markiere ich dies mit einem Kreis, den ich nicht ausfülle. Ich kennzeichne alles was kleiner ist bis hin zu -1. -1 ist in der Lösungsmenge enthalten, da hier ein 'kleiner-gleich' Zeichen steht. -1 ist in der Lösungsmenge enthalten, da hier ein 'kleiner-gleich' Zeichen steht. Die beiden letzten Aufgaben waren 'und' Aufgaben. Beide Bedingungen mussten erfüllt sein. Wenden wir uns nun einem 'oder' Problem zu. Wenden wir uns nun einem 'oder' Problem zu. Sagen wir, wir haben folgende Ungleichung. Sagen wir 4x minus 1 soll größer-gleich 7 sein, ODER 9x geteilt durch 2 soll kleiner als 3 sein. soll größer-gleich 7 sein, ODER 9x geteilt durch 2 soll kleiner als 3 sein. Zwischen den Bedingungen steht ein 'oder'. Ein x der Lösungsmenge, muss entweder die eine ODER die andere Bedingung erfüllen. In den letzten Aufgaben mussten wir Lösungen für x finden, die beide Bedingungen erfüllten. Das hier ist weniger restriktiv. Wir müssen nur eine von beiden Bedingungen erfüllen. Also lass uns die Lösungsmengen herausfinden, und dann die Gesamtmenge, als die Kombination aller möglichen Lösungen, die eine der beiden Bedingungen erfüllen. Kombination aller möglichen Lösungen, die eine der beiden Bedingungen erfüllen. Dazu addieren wir hier 1 auf beiden Seiten. Dazu addieren wir hier 1 auf beiden Seiten. Wir addieren 1 auf beiden Seiten. Auf der linken Seite erhalten wir 4x größer-gleich 7 plus 1, und das ist 8. Dann teilen wir beide Seiten durch 4. Und wir erhalten x größer-gleich 2. Oder, lass uns nun diese hier machen. Mal sehen, wenn wir beide Seiten mit 2/9 multiplizieren, was erhalten wir dann? 2/9 ist eine positive Zahl, daher musst du das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen. 2/9 ist eine positive Zahl, daher musst du das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen. Das hier hebt sich auf, und du erhältst x kleiner als 3 mal 2 geteilt durch 9. 3/9 ist das Gleiche wie 1/3, somit muss x kleiner sein als 2/3. Oder x ist kleiner als 2/3. Das ist unsere Lösungsmenge. x muss größer-gleich 2 sein, ODER kleiner als 2/3. Das ist interessant. Lass mich das auf einem Zahlenstrahl darstellen. Lass mich das auf einem Zahlenstrahl darstellen. Das ist unser Zahlenstrahl. Sagen wir das ist 0, das ist 1, das ist 2, 3 und das ist -1. Sagen wir das ist 0, das ist 1, das ist 2, 3 und das ist -1. Nun, x kann größer-gleich 2 sein. Wir können also hier anfangen. Ich mache das in einer anderen Farbe. Wir können bei 2 beginnen. x kann größer-gleich 2 sein, damit ist 2 in der Lösungsmenge enthalten, und alles größer 2. Das ist diese Bedingung hier. Oder x kann kleiner 2/3 sein. Oder x kann kleiner 2/3 sein. 2/3 wäre so ungefähr hier, nicht wahr? Das ist 2/3. x kann keiner als 2/3 sein. Das ist interessant. Denn wenn wir eine von diesen Zahlen hier nehmen, erfüllt das diese Ungleichung. Wenn wir eine von diesen Zahlen hier nehmen, erfüllt das diese Ungleichung. Wenn hier ein 'und' stünde, gäbe es keine Zahlen, die die Bedingungen erfüllten, denn eine Zahl kann nicht beides sein, größer als 2 und kleiner als 2/3. denn eine Zahl kann nicht beides sein, größer als 2 und kleiner als 2/3. Durch das 'oder' hier erhalten wir eine Lösungsmenge. Du musst nur eine der beiden Bedingungen erfüllen. Du musst nur eine der beiden Bedingungen erfüllen. Wie auch immer, ich hoffe das hat dir gefallen. Wie auch immer, ich hoffe das hat dir gefallen.