Ungleichungen mit Beträgen lösen: Brüche

Wir haben einen Absolutbetrag 2r-3 ¼ < 2 ½ und wir wollen eine Lösung für r finden Hier sollen wir von Anfang an mit dem Betrag umgehen. Wenn wir sagen, dass Betrag x kleiner als 2 ½ ist Das heißt, dass der Abstand von x bis Null kleiner als 2 ½ ist. Und das wiederum heißt, dass x kleiner als 2 ½ und großer als -2 ½ sein soll ... Denkt ihr einen Augenblick nach... Wenn ich das auf Zahlengerade hier zeichne... Hier sind Null und 2 ½ …und hier ist -2 ½ ... Beide Zahlen sind genau 2 ½ von dem Nullpunkt entfernt, weil der Beträge von beiden gleich 2 ½ sind. Wir suchen nach Werten, deren Betrag kleiner als 2 ½ ist, das heißt, dass es näher zum Null als 2 ½ liegt, und das sind alle Werte zwischen -2 ½ und 2 ½. Und das ist genau das, was diese beiden Aussagen zum Ausdruck bringen: x soll kleiner als 2 ½ und größer als -2 ½ sein. Wenn der Betrag von x größer als 2 ½ wird, dann müssen wir mit den Werten arbeiten, die diese Grenzen überschreiten. Da wir hier das Zeichen „kleiner“ haben, lasst uns klarstellen, welche Werte x hat. Der Abstand von hier bis Null muss kleiner als 2 ½ sein. Wir können schreiben, dass 2r-3 ¼ kleiner als 2 ½ und 2r-3 ¼ größer als -2 ½ sein soll. Und das Gleiche hier ... Ich zeichne eine Linie, um euch nicht zu irritieren ... Dieser Wert hier soll größer als -2 ½ und kleiner als 2 ½ sein. Lasst uns jede von diesen Aufgaben einzeln lösen. Also, die erste Aufgabe… Ich habe schon gesagt, dass ich alle Brüche nicht mag. Also lasst uns diese Brüche ... Verzeihung, ich habe mich versprochen. Mir gefallen die gemischten Zahlen nicht. Also lasst uns das in unechte Brüche umformen. 2r-3 ¼ ...oder 2r-13/4... ist kleiner als 5/2 ... Das ist die erste Ungleichung ... Und hier ist die zweite Ungleichung Wir machen das Gleiche hier … 2r-13/4 ist größer als -5/2. Lasst uns jede Aufgabe einzeln lösen. Jetzt werden wir die Brüche los. Um das zu tun, sollen wir beide Seiten mit 4 multiplizieren. Lasst uns das ein wenig nach links verschieben. Nun multiplizieren wir beide Seiten mit 4. 4 mal 2r ist 8r. -13/4 mal 4 …ist -13... Kleiner als... ich multipliziere positive Zahlen, also ändert sich das Zeichen nicht. ...5/2 mal 4 ist 10. Das ist richtig – vier wird zu zwei ... 5 mal 2 ist gleich 10. Also, wir haben 8r-13 ist kleiner als 10. Jetzt können wir 13 auf beiden Seiten dieser Ungleichung addieren. Wenn wir 13 auf beiden Seiten addieren, werden wir es links loswerden. Wir erhalten: 8r ist kleiner als 23 ... Nun dividieren wir beide Seiten durch 8. ...Das wird weggekürzt…Wir sollen uns keine Sorgen machen, da wir durch eine positive Zahl dividieren. Wir erhalten: r ist kleiner als 23/8 Oder, wenn wir es als eine gemischte Zahl aufschreiben, erhalten wir: r ist kleiner als 2 und 7/8. Das ist eine der Voraussetzungen. Aber wir sollen an noch eine Voraussetzung zurückdenken, weil wir hier "und" geschrieben haben. Die andere Voraussetzung sagt uns, dass 2r-13/4 kleiner als -5/2 ist. Wir multiplizieren beide Seiten mit 4. Also, 4 mal 2r ist 8r... 4 mal -13/4 ist -13… größer als 4 mal 5/2 ist -10. Jetzt addieren wir 13 auf beiden Seiten dieser Ungleichung. Auf der linken Seite werden diese Zahlen weggekürzt. Es bleibt nur 8r größer als -10+13… das ist 3. Nun dividieren wir beide Seiten durch 8. Und wir erhalten: r ist größer als 3/8. Hier sind die beiden Voraussetzungen. r soll kleiner als 2 und 7/8 und größer als 3/8 sein. Wir schreiben es so auf: r ist größer als 3/8 ... oder 3/8 ist kleiner als r, das kleiner als 2 und 7/8 ist. Wir werden dieser Ergebnis auf der Zahlengerade zeichnen. Hier ist meine Zahlengerade... Hier ist Null, hier sind vielleicht 1, 2 und 3. Wir suchen Werte, die kleiner als 2 und 7/8 sind. Nehmen wir an, dass 2 und 7/8 hier ist. Wir suchen Werte, die größer als 3/8 sind. Also 3/8 liegt irgendwo hier... Und all die Werte, die dazwischen liegen, sind richtig. Alles, was dazwischen liegt, ist richtige Lösung. Wir können überprüfen, ob das wirklich richtig ist. Wir werden beweisen, dass "eins" eine richtige Lösung sein kann... Also 2 mal 1 minus 3 ¼… Was ist das? Das ist 2-3 ¼. 3 ¼ -2 ist -1 ¼ Lasst uns den Betrag von diese Zahl finden. Also, | -1 ¼ | ist gleich 1 ¼. Das ist in der Tat kleiner als 2 ½. Probieren wir es mit Null. Was passiert, wenn wir hier Null nehmen? 2r mal 0 ist gleich 0-3 ¼ Der Betrag von -3 ¼ ist + 3 ¼. Das geht nicht, weil 3 ¼ größer als 2 ½ ist. Und das gleiche wird mit 3 passieren. 2 mal 3 ist 6. 6 - 3 ¼ ist 2 ¾. Der Betrag von 2 ¾ ist 2 ¾. Und es ist größer als 2 ½. Das ist auch fehlgeschlagen. Nun, zumindest die Werte, die wir ausprobiert haben, entsprechen der Lösung.