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Einführung zu Gleichungen mit absoluten Beträgen und deren Graphen

Sal führt die Absolutwert Funktionen (wie |x-5|=10) und Graphen von Absolutwert Funktionen (wie y=|x+3|) ein. Erstellt von Sal Khan und CK-12 Foundation

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Video-Transkript

Lösen wir einige Gleichungen mit Beträgen. Zuerst eine kleine Wiederholung zu den Beträgen einer Zahl. Zuerst eine kleine Wiederholung zu den Beträgen einer Zahl. Ich will den Betrag von -1 haben. Dafür fragst du dich, wie weit diese Zahl von 0 entfernt ist? Dafür fragst du dich, wie weit diese Zahl von 0 entfernt ist? Wir zeichnen zur Verdeutlichung hier einen Zahlenstrahl. Wir zeichnen zur Verdeutlichung hier einen Zahlenstrahl. Hier ist die 0. Hier ist die -1. Sie ist um 1 von der 0 entfernt. Der Betrag von -1 ist 1. Der Betrag von 1 ist auch 1 von der 0 entfernt. Er ist auch 1. In gewisser Weise ist der Betrag die Entfernung von 0. Es gibt noch eine einfachere Erklärung: Er ist immer die positive Form der Zahl. Der Betrag von -7.346 ist gleich 7.346. Mit diesem Wissen können wir einige Gleichungen mit Beträgen lösen. Mit diesem Wissen können wir einige Gleichungen mit Beträgen lösen. Ich habe die Gleichung: Der Betrag von x - 5 = 10. Denke darüber nach: Man könnte sagen, dass die Distanz zwischen x und 5 gleich 10 ist. Man könnte sagen, dass die Distanz zwischen x und 5 gleich 10 ist. Wieviele Zahlen sind genau 10 von 5 entfernt? Du kannst dir die Lösung für die Gleichung schon denken, aber ich zeige dir, wie man sie systematisch löst. Dies gilt für zwei Situationen. Entweder ist x - 5 = 10. Wenn dies 10 ergibt, wird auch der Betrag 10 sein. wird auch der Betrag 10 sein. Oder x - 5 könnte -10 ergeben. Auch dann würde der Betrag 10 sein. Auch dann würde der Betrag 10 sein. x - 5 könnte also auch gleich -10 sein. Beides würde die Bedingungen erfüllen. Um das Ergebnis zu bekommen, addierst du 5 zu beiden Seiten der Gleichung. Du erhältst x = 15. Um dies zu lösen, addierst du 5 zu beiden Seiten dieser Gleichung. x = -5. Es gibt zwei x, die diese Gleichung erfüllen. Es gibt zwei x, die diese Gleichung erfüllen. x könnte 15 sein. 15 - 5 = 10, der Betrag wäre 10. Oder x könnte -5 sein. -5 - 5 = -10. Der Betrag wäre wieder 10. Beide Zahlen sind genau 10 Einheiten von der 5 entfernt. Beide Zahlen sind genau 10 Einheiten von der 5 entfernt. Lösen wir eine andere Aufgabe. Lösen wir eine andere Aufgabe. Der Betrag von x + 2 = 6. Der Betrag von x + 2 = 6. Was sagt uns das? Entweder muss x + 2, der Wert im Betragszeichen, gleich 6 sein. Entweder muss x + 2, der Wert im Betragszeichen, gleich 6 sein. Oder der Betrag, das x + 2, könnte auch -6 sein. Oder der Betrag, das x + 2, könnte auch -6 sein. Falls dies -6 ergibt und du den Betrag errechnest, erhältst du 6. Falls dies -6 ergibt und du den Betrag errechnest, erhältst du 6. Oder x + 2 könnte gleich -6 sein. Wenn du dann 2 von beiden Seiten der Gleichung abziehst, erhältst du x = 4. Wenn du 2 von beiden Seiten der Gleichung abziehst, erhältst du x = -8. Das sind zwei Lösungen für die Gleichung. Du kannst den Betrag als Distanz betrachten, Du kannst den Betrag als Distanz betrachten, also könntest du diese Aufgabe umschreiben zu: der Betrag von x - -2 = 6. Du fragst mich damit, was die x sind, die genau um 6 von der -2 entfernt sind. Du fragst mich damit, was die x sind, die genau um 6 von der -2 entfernt sind. Hier oben haben wir gefragt, was die x sind, die genau um 10 von der 5 entfernt sind? Hier oben haben wir gefragt, was die x sind, die genau um 10 von der 5 entfernt sind? Egal welche Zahl du von 5 subtrahierst, sie sind beide um 10 von der 5 entfernt. Hier fragst du, was ist genau um 6 von der -2 entfernt? Hier fragst du, was ist genau um 6 von der -2 entfernt? Es wird 4 oder -8 sein. Du kannst es mit beiden Zahlen selbst versuchen. Lösen wir eine andere Aufgabe, diesmal in lila. Lösen wir eine andere Aufgabe, diesmal in lila. Wir haben den Betrag von 4x - 1. Wir haben den Betrag von 4x - 1. Wir haben den Betrag von 4x - 1. Der Betrag von 4x - 1 = 19. Der Betrag von 4x - 1 = 19. 4x - 1 könnte = 19 sein. 4x - 1 könnte = 19 sein. Oder 4x - 1 könnte = -19 sein. Denn wenn du den Betrag nimmst, wirst du wieder 19 erhalten. Denn wenn du den Betrag nimmst, wirst du wieder 19 erhalten. Oder 4x - 1 könnte -19 sein. Du löst einfach diese beiden Gleichungen. Addiere 1 zu beiden Seiten dieser Gleichung. Addiere 1 zu beiden Seiten dieser Gleichung. Dann erhältst du 4x = 20. Addiere 1 zu beiden Seiten dieser Gleichung und du erhältst 4x = -18. Teile beide Seiten durch 4 und du erhältst x = 5. Teile hier beide Seiten durch 4 und du erhältst x = -18/4, also -9/2. Beider Werte von x erfüllen die Gleichung. Versuche es selbst. -9/2 mal 4. Das ergibt -18. -18 - 1 = -19. Der Betrag ist 19. Setze hier 5 ein, 4 mal 5 = 20. 20 - 1 = 19. Der Betrag ist wieder 19. Der Betrag ist wieder 19. Stellen wir eine Aufgabe grafisch dar. Zum Beispiel y = der Betrag von x + 3. Zum Beispiel y = der Betrag von x + 3. Das ist eine Funktion, oder ein Graph, mit einem Betrag. Das ist eine Funktion, oder ein Graph, mit einem Betrag. Es gibt zwei Möglichkeiten. Erstens könnte der Wert innerhalb des Betragszeichens positiv sein. Erstens könnte der Wert innerhalb des Betragszeichens positiv sein. Also x + 3 ist größer als 0. Also x + 3 ist größer als 0. Zweitens könnte x + 3 kleiner als 0 sein. Wenn x + 3 größer als 0 ist, dann wäre diese Funktion das Gleiche wie y = x + 3. Ist dieser Wert größer als 0, dann ist das Betragszeichen überflüssig. Das ist dasselbe wie y = x + 3. Das ist dasselbe wie y = x + 3. Aber wann ist x + 3 größer als 0? Ziehst du 3 von beiden Seiten ab, erhältst du x ist größer als -3. Wenn x größer als -3 ist, sieht dieser Graph so aus, als ob y = x+ 3 ist. Was, wenn x +3 kleiner als 0 ist? Wenn der Wert in dem Betragszeichen negativ ist, Wenn der Wert in dem Betragszeichen negativ ist, lautet die Gleichung: y = das negative Ergebnis von x + 3. lautet die Gleichung: y = das negative Ergebnis von x + 3. Woher weiß ich das? Wenn das eine negative Zahl ist, wenn x + 3 eine negative Zahl ergibt, wenn x + 3 eine negative Zahl ergibt, wird der Betrag eine positive Zahl sein. wird der Betrag eine positive Zahl sein. So als ob du sie mit -1 multiplizierst. Wenn du weist, dass du den Betrag einer negativen Zahl suchst, ist es so, als ob du sie mit -1 multiplizierst, weil du sie positiv machst. Das ist hier der Fall. x + 3 ist kleiner als 0. Ziehen wir 3 von beiden Seiten ab, wenn x kleiner als -3 ist. Ziehen wir 3 von beiden Seiten ab, wenn x kleiner als -3 ist. Ist x kleiner als -3, wird der Graph so aussehen. Ist x kleiner als -3, wird der Graph so aussehen. Wenn x größer als -3 ist, wird der Graph so aussehen. Wenn x größer als -3 ist, wird der Graph so aussehen. Überlegen wir, wie der ganze Graph aussehen würde. Überlegen wir, wie der ganze Graph aussehen würde. Ich zeichne die Achsen. Hier die x-Achse, dort die y-Achse. Ich multipliziere, damit wir die Form mx + b erhalten. Ich multipliziere, damit wir die Form mx + b erhalten. Das ist gleich -x - 3. Wie würde dieser Graph allgemein aussehen? Wie wurde dieser Graph allgemein aussehen? -x - 3. Der y-Achsenabschnitt ist -3. -x bedeutet eine negative Steigung von 1. -x bedeutet eine negative Steigung von 1. Der Graph würde so aussehen. Der x-Achsenabschnitt wäre bei -3. Der x-Achsenabschnitt wäre bei -3. Der x-Achsenabschnitt wäre bei -3. Genau hier. Genau hier. Hätten wir nicht diese Beschränkung, würde der Graph ungefähr so aussehen. Hätten wir nicht diese Beschränkung, würde der Graph ungefähr so aussehen. Aber er ist auf ein bestimmtes Intervall auf der x-Achse beschränkt. Aber er ist auf ein bestimmtes Intervall auf der x-Achse beschränkt. Wie würde dieser Graph aussehen? Mal sehen. Sein y-Achsenabschnitt liegt bei 3. Sein y-Achsenabschnitt liegt bei 3. Wo ist der x-Achsenabschnitt? Wenn y = 0, x = -3. Der Graph verläuft durch diesen Punkt und hat eine Steigung von 1. Der Graph verläuft durch diesen Punkt und hat eine Steigung von 1. Er würde ungefähr so aussehen. Er würde ungefähr so aussehen. Wir wissen, dass diese Betragsfunktion wie dieser lilane Graph aussieht, wenn x kleiner als -3 ist. wie dieser lilane Graph aussieht, wenn x kleiner als -3 ist. Wenn x kleiner als -3 ist -- -- das hier ist x = -3 -- dann sieht die Betragsfunktion wie dieser lilane Graph aus. dann sieht die Betragsfunktion wie dieser lilane Graph aus. Wenn x kleiner als -3 ist. Aber wenn x größer als -3 ist, sieht die Betragsfunktion wie der grüne Graph aus. wie der grüne Graph aus. Dieser Graph sieht wie ein "v" aus. Wenn x größer als -3 ist, ist dies positiv. Wir haben eine positive Steigung. Aber wenn x kleiner als -3 ist, haben wir im Prinzip die negative Funktion, und eine negative Steigung. Du hast diese v-förmige Funktion, diesen v-förmigen Graphen, was auf eine Betragsfunktion hinweist. diesen v-förmigen Graphen, was auf eine Betragsfunktion hinweist.