Beispielaufgabe: Betragsgleichungen mit keiner Lösung

Wir müssen nach x lösen und wir haben die Gleichung mit Beträgen. 4 mal den Betrag von x plus 10 plus 4 ist gleich 6 mal den Betrag von x plus 10 plus 10. Zunächst sieht es ein wenig beängstigend aus, aber man muss einfach nach diesen Beträgen der Terme lösen und dann weitergehen. Ich schreibe das nochmal auf, um die Terme hervorzuheben. Das ist 4 mal der Betrag von x plus 10 plus 4 ist gleich 6 mal der Betrag von x plus 10 plus 10. Bringen wir den Betrag von x plus 10 auf die linke Seite. Ich will die 6 mal wegbekommen der Betrag von x plus 10 rechts. Wie mache ich das? Ich könnte 6 mal den Betrag von x plus 10 abziehen von rechts, aber wir haben das schon einige Male gesehen. Wenn diese zwei Dinge gleich sind und wenn sie gleich bleiben sollen, wenn ich 6 abziehe von der rechten Seite, muss ich -- oder wenn ich 6 mal den Betrag von x plus 10 abziehe von der rechten Seite, so muss ich das Gleiche von der linken Seite abziehen. Wir werden dann minus 6 mal den Betrag von x plus 10 haben. Ebenfalls will ich all meine konstanten Terme, ich will diese 4 von der linken Seite wegbringen. Ich ziehe also 4 von links ab und dann muss ich das auch rechts machen, sonst würde es nicht mehr gleich sein. Schauen wir mal, was wir bekommen. Auf der linken Seite, 4 minus 4 gibt 0. Du hast 4 von etwas minus 6 von etwas, das heißt, du wirst minus 2 bekommen von diesem Etwas. Minus 2 vom Betrag von x plus 10. Das könnte vielleicht ein wenig verwirrend sein, aber wenn du 4 Äpfel hast und 6 Äpfel davon abziehst, dann weisst du, dass du nun minus 2 Äpfel hast, du schuldest jemandem die Äpfel. Auf gleicher Weise hast du 4 von diesem Ausdruck, du ziehst 6 ab von diesem Ausdruck, nun hast du minus 2 von diesem Ausdruck. Es ist also minus 2 mal den Betrag von x plus 10 ist gleich und das ist der ganze Sinn der Sache, 6 mal den Betrag von x plus 10 minus 6 mal den Betrag von x plus 10, damit sie sich aufheben und dann hast du 10 minus 4 ist gleich 6. Nun wollen nach dem Betrag von x plus 10 auflösen. Wir müssen also minus 2 los werden und das machen wir, indem wir beide Seiten durch 2 teilen. Vielleicht hast du gemerkt, dass wir diesen roten Ausdruck eigentlich fast wie eine Variable behandeln und wir nach diesem roten Ausdruck auflösen werden und von dort dann weiter rechnen. Negativ 2 durch negativ 2 ist 1. 6 durch minus 2 ist minus 3. Wir bekommen also den Betrag von x plus 10 ist gleich minus 3. Nun haben wir eine interessante Situation. Man könnte sagen, dass das die positive Version oder die negative, aber Beträge sind nie negativ. Wenn den Betrag von 0 nimmst, so hättetst du 0. Aber der Betrag von allem anderen ist positiv. Das hier wird sicher grösser oder gleich 0 sein. Egal was du für ein x einsetzt, wenn du den Betrag nimmst, wirst du einen Wert größer oder gleich 0 haben. Es gibt kein x, welches irgendwie -- du setzt es hier ein, zählst 10 dazu, du nimmst einen Betrag davon, du bekommst einen negativen Wert. Das hier hat keine Lösung. Ich setzte Ausrufezeichen hin zum Hervorheben.