Radius, Durchmesser, Umfang & π

Der Kreis ist die Grundgestalt in unserem Universum. Egal wohin ihr auch schaut, ihr sieht diese Form. Das sind die Umlaufbahnen von den Planeten oder die Räder oder die Dinge auf molekularer Ebene. Also es lohnt sich wahrscheinlich einige der Kreiseigenschaften zu verstehen. Als die Menschen den Kreis entdeckt haben, – und man braucht nur den Mond anzuschauen, um den Kreis zu sehen, – dachten sie: “Was sind die Eigenschaften jedes Kreises?“ Und sie haben bestimmt auch gesagt: "Ein Kreis ist alle Punkte, die vom Zentrum des Kreises gleich entfernt sind. Das Zentrum des Kreises ist hier". Das Nächste, was man wissen möchte: wie groß dieser Abstand ist? Dieser Abstand zum Mittelpunkt soll gleich für jeden Punkt sein, der die Kreislinie bildet. Das ist der. Wir nennen ihn Radius des Kreises. Das ist bloß die Entfernung vom Zentrum zum Rand. Wenn dieser Radius 3 cm ist, dann ist dieser Radius auch 3 cm, und dieser ist auch 3 cm. Er ändert sich nie. Ein Kreis ist definiert als Menge aller Punkte, die um Zentrum in gleichem Abstand liegen. Und dieser Abstand ist der Radius. Und die nächste Frage ist: Wie dick ist der Kreis? Wie breit ist er an seiner breitesten Stelle? Wie groß wäre dieser Abstand, wenn Ihr den Kreis an seiner breitesten Stelle geschnitten hättet? Statt dieser Stelle, könnte ich z. B. diese Stelle auswählen. Ich würde ihn aber nicht hier schneiden, weil das nicht die breiteste Stelle ist. Es gibt viele Wege, um den Kreis an seiner breitesten Stelle aufzuschneiden. Wir haben eben den Radius bestimmt, und wir sehen nun, dass der breiteste Teil durch das Zentrum und dann weiter läuft. Es sind also zwei Radien. Hier haben wir einen Radius und hier noch einen. Der Abstand zwischen zwei Punkten an der breitesten Stelle des Kreises heißt der Durchmesser. Das ist also der Durchmesser des Kreises. Er hat ein sehr einfaches Verhältnis zum Radius: Der Durchmesser entspricht dem zweifachen Radius. Nun die nächste interessante Frage, über die man nachdenken soll: Wie lang ist die Kreisgrenze? Das heißt, wie groß wäre diese Entfernung, wenn ihr um den Kreis mit dem Maßband herum messen würdet? Man nennt das der Kreisumfang. Das Verhältnis zwischen dem Durchmesser und dem Radius kennen wir schon. Wie ist aber das Verhältnis zwischen dem Kreisumfang und dem Durchmesser? Wenn ihr nicht gewohnt sind, den Durchmesser zu benutzen, könnt ihr den Radius anwenden. Vor vielen Jahren benutzten die Menschen Maßbänder zum Messen der Kreisumfang und Radien. Nehmen wir an, dass sie schlechte Maßbänder hatten, Sie haben den Umfänge gemessen und ca. 3 m erhalten. Dann haben sie den Radius hier oder den Durchmesser gemessen und beschlossen, dass der nach 1 m aussieht. Oder machen wir es anders. Uns interessiert das Verhältnis. Also, ich schreibe dann: „Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser.“ Nehmen wir an, dass die Menschen diesen Kreis hatten, und nachdem sie sein Umfang mit einem nicht besonders guten Maßband gemessen hatten, sagten sie, dass dieser Abstand ungefähr 3 m ist. Wenn ich den Durchmesser abmesse, sehe ich, dass er ungefähr 1 m ist. Das ist interessant. Ist vielleicht der Umfang dreimal so groß wie der Durchmesser? Nehmen wir an, dass sie dann einen anderen Kreis hatten. So einen Kreis. Nehmen wir an, dass die Menschen den Kreisumfang gemessen (nennen wir es C) und festgestellt haben, dass der ungefähr 6 cm ist. Sie hatten doch ein schlechtes Maßband. Dann haben die Menschen festgestellt, dass der Durchmesser etwa 2 cm ist. Also, das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser ist wieder ca. 3:1. Soll es vielleicht eine Eigenschaft des Kreises sein? Kann es sein, dass das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser für jeden Kreis festgelegt ist? Die Menschen haben beschlossen, dass sie weiter forschen sollen. Sie holten bessere Maßbänder. Und sie haben damit gemessen und festgestellt, dass der Durchmesser genau 1 ist. Mein Durchmesser ist genau 1, wenn ich aber den Umfang messe, merke ich, dass der näher an 3.1 ist. Dasselbe ist hier. Es fiel den Menschen auf, dass diese Zahl näher an 3.1 ist. Sie haben immer besser gemessen. Und nach einer Weile haben sie erkannt, dass sie immer die gleiche Zahl 3,14159 erhalten haben. Sie haben weitere Ziffern hinzugefügt. Das war eine seltsame metaphysische Zahl, die immer wieder auftauchte. Diese Zahl ist grundlegend für unser Universum, weil der Kreis die Grundgestalt in unserem Universum ist, und diese Zahl für jeden Kreis gilt. Das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser war diese magische Zahl, die die Zahl pi genannt wurde. Man kann sie auch mit dem griechischen Buchstaben π bezeichnen. Die ist vielleicht die faszinierteste Zahl in unserem Universum. Zuerst zeigt sie sich als Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser, aber je länge eure Reise durch das Land Mathe dauert, desto öfter zeigt sich diese Zahl. Das ist eines der grundlegendsten Dinge im Universum, die uns beweisen, dass darin eine Ordnung herrscht. Aber wie können wir das in der Elementarmathematik anwenden? Wir wissen, oder eher ich sage euch, dass das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser… … wenn ich „Verhältnis“ sage, meine ich, dass wir den Umfang durch den Durchmesser teilen und π erhalten. π ist diese Zahl. Ich könnte 3,14159 und noch weiter schreiben, das würde aber zu viel Platz nehmen und es würde den Berechnungen erschweren, deshalb schreibt man einfach π. Wie können wir das verknüpfen? Wir können die beiden Seiten mit dem Durchmesser multiplizieren und sagen, dass der Umfang gleich π mal Durchmesser ist. Oder da der Durchmesser das 2-fache des Radius ist, könnten wir sagen, dass С=π2r ist. Am häufigsten schreib man aber 2πr. Mal sehen, wie man das bei einigen Aufgaben anwendet. Sagen wir, dass ich so einen Kreis habe, und dass sein Radius 3 ist. Ich schreibe das auf. Also, der Radius ist 3. Sagen wir, dass es 3 m ist. Wir haben eine Maßeinheit hinzugefügt. Wie groß ist der Kreisumfang? Der Kreisumfang ist 2πr, das ist 2π mal 3 m, oder 6π m. Ich multipliziere das aus. Vergesst nicht, dass π bloß eine Zahl ist. π=3,14159 und so weiter und so weiter. Also, wenn ich die mit 6 multipliziere, erhalte ich 18 Komma etwas. Wenn ihr einen Taschenrechner habt, könnt ihr das ausmultiplizieren, aber Einfachheit halber ersetzt man das in π. Ich weiß nicht, wie viel 6 mal 3,14 ist. Ich weiß nicht, ob es 19 oder 18 Komma etwas ergibt. Ich habe keinen Taschenrechner dabei. Aber ihr könnt, wie gesagt, 6π schreiben. Ich glaube nicht, dass wir mehr als 19 erhalten würden. Lasst uns eine andere Frage stellen. Wie groß ist der Durchmesser des Kreises? Wenn der Radius 3 ist, ist der Durchmesser doppelt so groß. Der ist 3 mal 2 oder 3 + 3 oder 6 m. Der Umfang beträgt 6π, der Durchmesser ist 6 m, und der Radius ist 3 m. Lasst uns einen anderen Weg gehen. Nehmen wir an, dass wir einen Kreis haben. Nehmen wir an, dass sein Umfang 10 m ist. Wenn ihr das mit einem Maßband gemessen habt, und jemand euch gefragt hat: „Wie groß ist der Durchmesser dieses Kreises?“ Wir wissen, dass der Durchmesser mal π, oder π mal Durchmesser gleich dem Kreisumfang ist. Und der beträgt 10 m. Um diese Gleichung zu lösen, dividieren wir seine beiden Seite durch π. Der Durchmesser ist also 10 m durch π oder 10 durch π m. Das ist bloß eine Zahl. Wenn ihr einen Taschenrechner dabei habt, könnt ihr 10 durch 3,14159 teilen. Ihr würdet dann 3 m Komma etwas erhalten. Der Einfachheit halber lassen wir es einfach so. Nun wie groß ist der Radius? Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. Das ist dieser Abstand hier 10 durch π m. Um den Radius zu berechnen, multiplizieren wir das mit ½. Ihr habt also: ½ mal 10 durch π ist gleich ½ mal 10 Oder ihr könnt den Zähler und den Nenner durch 2 teilen und hier 5 erhalten. Ihr erhaltet 5 durch π. Der Radius ist also 5/π. Das ist kein Kunststück. Ich glaube, dass die Tatsache, dass π eine Zahl ist, die Menschen am meisten verwirrt. π ist 3,14159 und etc., etc. Es gibt tausende Bücher über die Zahl π. Ich übertreibe vielleicht, aber man kann die Bücher darüber schreiben. Das ist bloß eine Zahl. Eine ganz besondere Zahl. Aber wenn man wollte, das auf eine gewöhnliche Weise schreiben, sollte man das nur multiplizieren. Meistens lässt man die Lösung mit der Zahl π. Das war es für Heute. Und im nächsten Video werden wir die Fläche eines Kreises herausfinden.