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Algebra - Grundlagen

Kurs: Algebra - Grundlagen > Lerneinheit 7

Lektion 9: Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen
Mathematik
Algebra - Grundlagen
Polynome zweiter und höherer Ordnung
Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen
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Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Google Classroom
Lerne, wie man quadratische Gleichungen wie (x-1)(x+3) = 0 und Faktorisierung verwendet, um andere Formen von Gleichungen zu lösen.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

Bisher hast du lineare Gleichungen gelöst, die konstante Terme (einfache Zahlen) enthalten und Terme, in denen die Variable in der ersten Potenz angegeben wird, left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis.
Du hast möglicherweise schon quadratische Gleichungen gelöst, welche Variablen in der zweiten Potenz enthalten, indem du die Quadratwurzel von beiden Seiten gezogen hast.
In dieser Lektion lernst du eine neue Art, quadratische Gleichungen zu lösen. Der Fokus wird auf folgendes gelegt,
  • Wie man in Faktoren zerlegte Gleichungen wie left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 löst, und
  • Wie man Ausklammerungs-Methoden verwendet, um andere Gleichungen left parenthesis wie x, squared, minus, 3, X, minus, 10, equals, 0, right parenthesis in eine faktorisierte Form zu bringen und sie zu lösen.

Faktorisierte quadratische Gleichungen lösen

Angenommen, wir werden gefragt die quadratische Gleichung left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, X, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 zu lösen.
Dies ist ein Produkt von zwei Termen, das gleich null ist. Beachte dass jeder x-Wert, der entweder left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis oder left parenthesis, X, plus, 3, right parenthesis 0 (null) ergibt, das Produkt zu null macht.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Das Ersetzen von entweder x, equals, 1 oder x, equals, 3 in die Gleichung ergibt die wahre Aussage 0, equals, 0, so dass sie beide Lösungen der Gleichung sind.
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
Löse left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Wähle eine Lösung.

Löse left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Wähle eine Lösung.

Eine Frage zum Nachdenken

Kann die gleiche Lösung-Methode angewendet werden für die Gleichung left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6?
Wähle eine Lösung.

Eine Notiz über die Null-Produkt Eigenschaft

Woher wissen wir, dass es keine weitere Lösungen gibt, als die beiden. die wir mit unserer Methode finden?
Die Antwort wird durch eine einfache, aber sehr nützliche Eigenschaft, namens Null-Produkteigenschaft bereitgestellt:
Wenn das Produkt von zwei Größen gleich Null ist, dann muss zumindest eine dieser gleich Null sein.
Ersetzen von x-Werten mit Ausnahme unserer Lösung ergibt ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null, was bedeutet, dass das Produkt sicherlich nicht Null ist. Daher wissen wir, dass unsere Lösungen die einzigen möglichen sind.

Lösen durch Ausklammern

Angenommen, wir möchten die Gleichung x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0 lösen, dann ist alles, was wir tun müssen, das ausklammern von x, squared, minus, 3, x, minus, 10 und es zu lösen wie zuvor!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10 kann in Faktoren zerlegt werden als left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
Die komplette Lösung der Gleichung würde wie folgt gehen:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Teiler.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Teiler.}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Nun musst du ein paar Gleichungen auf eigene Faust zu lösen. Denk daran, das die verschiedenen Gleichungen verschiedene Faktorisierungs-Methoden benötigen.

Löse x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Schritt 1. klammere x, squared, plus, 5, x als Produkt von zwei linearen Termen aus.\quad

Schritt 2. Löse die Gleichung.
Wähle eine Lösung.

Löse x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Schritt 1. Klammere x, squared, minus, 11, x, plus, 28 als Produkt von zwei linearen Termen aus.\quad

Schritt 2. Löse die Gleichung.
Wähle eine Lösung.

Löse 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Schritt 1. klammere 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 als das Produkt von zwei linearen Termen aus.\quad

Schritt 2. Löse die Gleichung.
Wähle eine Lösung.

Löse 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Schritt 1. Klammere 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 als Produkt von zwei linearen Termen aus.\quad

Schritt 2. Löse die Gleichung.
Wähle eine Lösung.

Die Gleichung vor dem Ausklammern anordnen

Eine der Seiten muss Null sein.

So geht die Lösung der Gleichung x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x:
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Subtrahiert 40 und addiert xx2+3x−40=0Fasse gleichartige Terme zusammen(x+8)(x−5)=0Faktor\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Subtrahiert 40 und addiert }x\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Fasse gleichartige Terme zusammen}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Faktor}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Bevor wir ausklammern, formen wir die Gleichung um, so dass alle Terme auf der gleichen Seite sind, und die andere Seite null ist. Erst dann können wir ausklammern und unsere Lösungs-Methode verwenden.

Entfernen gemeinsamer Faktoren

So geht die Lösung der Gleichung 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0:
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Dividiert durch 2.(x−3)2=0Faktor.↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Dividiert durch 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Faktor.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Alle Therme hatten zuvor den Faktor 2 gemeinsam, also haben wir beide Seiten durch 2 geteilt - Die Seite mit der Null bleibt Null - wodurch das faktorisieren einfacher wurde.
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
Ermittle die Lösungen der Gleichung.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Ermittle die Lösungen der Gleichung.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Ermittle die Lösungen der Gleichung.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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