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Algebra - Grundlagen

Kurs: Algebra - Grundlagen > Lerneinheit 7

Lektion 6: Quadratische Terme faktorisieren 2
Mathematik
Algebra - Grundlagen
Polynome zweiter und höherer Ordnung
Quadratische Terme faktorisieren 2
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Quadratische Terme faktorisieren: Führende Koeffizient ≠ 1

Google Classroom
Lerne, wie man quadratische Terme als das Produkt zweier linearer Binome faktorisiert, zum Beispiel 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Was du wissen musst, bevor du diese Lektion beginnst

Die Gruppierungsmethode kann dazu benutzt werden, um Polynome mit 4 Termen zu faktorisieren, indem du die gemeinsamen Faktor mehrmals ausklammerst. Wenn dies neu ist für dich, wirst du dir unseren Einführung in das Faktorisieren durch Gruppieren-Artikel anschauen wollen.
Wir empfehlen dir auch, dass du dir unseren Artikel über das Faktorisieren von quadratischen Gleichungen mit dem führenden Koeffizienten 1 ansiehst, bevor du fortfährst.

Was du in dieser Lektion lernst

In diesem Artikel benutzen wir das Gruppieren um quadratische Gleichungen mit einem anderen führenden Koeffizienten als 1 zu faktorisieren, wie 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Beispiel 1: 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3 faktorisieren

Da der führende Koeffizient von left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis gleich start color #11accd, 2, end color #11accd ist, können wir nicht die Summen-Produkt-Methode anwenden, um den quadratischen Term zu faktorisieren.
Statt start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff zu faktoriseren, müssen wir zwei ganze Zahlen finden, die das Produkt start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (der führende Koeffizient mal dem konstanten Term) und die Summe start color #e07d10, 7, end color #e07d10 (der x-Koeffizient) ergeben.
Da start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 und start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, sind die zwei Zahlen start color #01a995, 1, end color #01a995 und start color #01a995, 6, end color #01a995.
Diese zwei Zahlen sagen uns, wie der x-Term in dem Originalterm aufgeteilt wird. Daher können wir unser Polynom als 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3 ausdrücken.
Wir können nun das Gruppieren benutzen um das Polynom zu faktorisieren:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Terme gruppieren=x(2x+1)+3(2x+1)ggT ausklammern=x(2x+1)+3(2x+1)Gemeinsamer Faktor!=(2x+1)(x+3)ausklammern von 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Terme gruppieren}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{ggT ausklammern}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Gemeinsamer Faktor!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{ausklammern von } 2x+1}} \end{aligned}
Die faktorisierte Form ist left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir zeigen, dass das Multiplizieren der Faktoren 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3 ergibt.

Zusammenfassung

Im allgemeinen können wir die folgenden Schritte anwenden, um eine quadratische Gleichung der Form start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff zu faktorisieren:
  1. Beginne damit, dass du zwei Zahlen findest, die multipliziert start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff ergeben und addiert start color #e07d10, b, end color #e07d10 ergeben.
  2. Benutze diese Zahlen um den x-Term aufzuteilen.
  3. Wende das Gruppieren an, um den quadratischen Ausdruck zu faktorisieren.

Überprüfe dein Verständnis

1) Faktorisiere 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Wähle eine Lösung.

2) Faktorisiere 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Beispiel 2: 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4 faktorisieren

Um start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die multipliziert start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 ergeben und die addiert start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10 ergeben.
Da start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 und start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, sind die Zahlen start color #01a995, 3, end color #01a995 und start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Wir können nun den Term minus, 5, x als Summe von start color #01a995, 3, end color #01a995, x und start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x schreiben und das Gruppieren anwenden um das Polynom zu faktorisieren:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Terme gruppieren(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)ggT ausklammern(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Vereinfachen(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)Gemeinsamer Faktor!(5)=(2x+1)(3x−4)ausklammern von 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Terme gruppieren}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{ggT ausklammern}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Vereinfachen}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Gemeinsamer Faktor!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{ausklammern von } 2x+1}}\\ \end{aligned}
Die faktorisierte Form ist left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir zeigen, dass das Multiplizieren der Faktoren 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4 ergibt.
Beachte: Bemerke In Schritt start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd oben, dass, weil der dritte Term negativ ist, ein "+" zwischen den Gruppen eingefügt wurde damit der Ausdruck äquivalent zum ursprünglichen Ausdruck ist. Auch müssen wir in Schritt start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, ein negative ggT von der zweiten Gruppe ausklammern, damit wir den gemeinsamen Faktor 2, x, plus, 1 erhalten. Sei vorsichtig mit den Vorzeichen!

Überprüfe dein Verständnis

3) Faktorisiere 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Wähle eine Lösung.

4) Faktorisiere 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Faktorisiere 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

Wann ist diese Methode nützlich?

Also, klar ist die Methode nützlich, um quadratische Ausdrücke der Form a, x, squared, plus, b, x, plus, c zu faktorisieren, sogar wenn a, does not equal, 1.
Aber es ist nicht immer möglich einen quadratischen Ausdruck dieser Form mit unserer Methode zu faktorisieren.
Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Um ihn zu faktorisieren, müssen wir zwei ganze Zahlen finden, die als Produkt start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 ergeben und als Summe start color #e07d10, 2, end color #e07d10 ergeben. Versuche, wenn du willst, du wirst keine solche ganzen Zahlen finden.
Daher funltioniert unsere Methode nicht bei start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff, und bei vielen anderen quadratischen Ausdrücken auch nicht.
Es ist aber nützlich sich daran zu erinnern, dass, wenn diese Methode nicht funktioniert, es bedeutet, dass der Ausdruck nicht als left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis faktorisiert werden kann, wobei A, B, C und D ganze Zahlen sind.

Warum funktioniert diese Methode?

Will wollen tiefer darin eintauchen, warum diese Methode überhaupt erfolgreich ist. Wir haben hier eine Reihe von Buchstaben, hab' aber bitte Nachsicht mit uns!
Nehmen wir an, dass der allgemeine quadratische Ausdruck a, x, squared, plus, b, x, plus, c faktorisiert werden kann als left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis mit den ganzen Zahlen A, B, C und D.
Wenn wir die Klammern ausmultiplizieren, erhalten wir den quadratischen Ausdruck left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Da dieser Ausdruck äquivalent ist zu a, x, squared, plus, b, x, plus, c, müssen die entsprechenden Koeffizienten in den zwei Ausdrücken gleich sein! Dieses ergibt die folgende Beziehung zwischen allen unbekannten Buchstaben:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Nun definieren wir m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 und n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Laut dieser Definition...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
und
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
Und daher sind start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 und start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff die zwei ganzen Zahlen, nach denen wir immer suchen, wenn wir diese Faktorisierungsmethode anwenden!
Der nächste Schritt in der Methode, nachdem wir m und n gefunden haben, ist den x-Koeffizienten left parenthesis, b, right parenthesis entsprechend m und n aufzuteilen und durch Gruppieren zu faktorisieren.
In der Tat, wenn wir den x-Term left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x in left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x aufteilen, sind wir in der Lage das Gruppieren zu benutzen, um unseren Ausdruck zurück in left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis zu faktorisieren.
Als Schlussfolgerung, in diesem Abschnitt ...
  • haben wir mit dem allgemeinen ausmultiplizierten Ausdruck a, x, squared, plus, b, x, plus, c und seiner allgemeinen Faktorisierung left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis begonnen,
  • waren wir in der Lage zwei Zahlen m und n zu finden, so dass m, n, equals, a, c und m, plus, n, equals, b left parenthesiswir taten dies, indem wir m, equals, B, C und n, equals, A, D, right parenthesis definierten,
  • teilten wir den x-Term b, x in m, x, plus, n, x auf, und konnten den ausmultiplizierten Ausdruck zurück in left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis faktorisieren.
Dieser Prozess zeigt, warum unser Methode, wenn ein Ausdruck in der Tat als left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis faktorisiert werden kann, gewährleistet, dass wir diese Faktorisierung herausfinden.
Vielen Dank, dass du das durchgezogen hast!

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    Gepostet vor 3 Jahren. Direkter Link zu Musti's Post “"Aber es ist nicht immer ...”
    "Aber es ist nicht immer möglich einen quadratischen Ausdruck dieser Form mit unserer Methode zu faktorisieren." Hat das was mit Primzahlen zutun?
    (1 Bewertung)
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