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Algebra - Grundlagen

Kurs: Algebra - Grundlagen > Lerneinheit 7

Lektion 4: Polynome faktorisieren durch Benutzen von gemeinsamen Faktoren
Mathematik
Algebra - Grundlagen
Polynome zweiter und höherer Ordnung
Polynome faktorisieren durch Benutzen von gemeinsamen Faktoren
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Polynome faktorisieren durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors

Google Classroom
Lerne wie man einen gemeinsamen Faktor aus einem polynomischen Term faktorisiert. Zum Beispiel, faktorisiere 6x²+10x als 2x(3x+5).

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Der ggT (größte gemeinsame Teiler) von zwei oder mehr Monomen ist das Produkt aller ihrer gemeinsamen Faktoren. Zum Beispiel ist das ggT von 6, x und 4, x, squared gleich 2, x.
Wenn dies neu ist für dich, solltest du unseren Größter gemeinsamer Teiler von Monomen-Artikel ausprobieren.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du wie du gemeinsame Faktoren von Polynomen ausklammerst.

Das Distributivgesetz: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Um zu verstehen, wie du gemeinsame Faktoren ausklammerst, müssen wir das Distributivgesetz verstehen.
Zum Beispiel können wir das Distributivgesetz benutzen, um das Produkt von 3, x, squared und 4, x, plus, 3 herauszufinden, wie unten gezeigt:
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Beachte wie jeder Term in dem Binom mit einem gemeinsamen Faktor von start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 multipliziert wird.
Weil aber das Distributivgesetz eine Gleichung ist, ist die Umkehrung dieses Prozesses auch wahr!
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis
Wenn wir mit 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis beginnen, können wir das Distributivgesetz benutzen um start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 auszuklammern und 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis zu erhalten.
Der sich ergebende Term ist in faktorisierter Form, weil er als Produkt von zwei Polynomen geschrieben wird, wobei der Originalterm eine Summe aus zwei Termen ist.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 1
Schreibe 2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis in faktorisierter Form.
Wähle eine Lösung.

Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern

Um das ggT aus einem Polynom auszuklammern, machen wir das folgende:
  1. Ermittle den größten ggT von allen Termen in dem Polynom.
  2. Drücke jeden Term als Produkt des ggT und einem anderen Faktor aus.
  3. Nutze das Distributivgesetzt, um den ggT auszuklammern.
Wir wollen das ggT aus 2, x, cubed, minus, 6, x, squared ausklammern.
Schritt 1: Ermittle das ggT
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Daher ist das ggT von 2, x, cubed, minus, 6, x, squared gleich start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99.
Schritt 2: Drücke jeden Term als ein Produkt von start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99 und einem anderen Faktor aus.
  • 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
  • 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Also kann das Polynom geschrieben werden als 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Schritt 3: Klammere das ggT aus
Nun können wir das Distributivgesetz anwenden um start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 auszuklammern.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis
Unser Ergebnis überprüfen
Wir können unsere Faktorisierung prüfen, indem wir 2, x, squared zurück in das Polynom multiplizieren.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Da dies das Gleiche ist wie das Originalpolynom, ist unsere Faktorisierung richtig!

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 2
Klammere den größten gemeinsamen Faktor in 12, x, squared, plus, 18, x aus.
Wähle eine Lösung.

Aufgabe 3
Klammere den größten gemeinsamen Faktor in dem folgenden Polynom aus.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

Aufgabe 4
Klammere den größten gemeinsamen Faktor in dem folgenden Polynom aus.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Können wir effektiver sein?

Wenn du dich mit dem Prozess des Ausklammerns des ggT gut auskennst, können wir eine schnellere Methode benutzen:
Wenn wir das ggT kennen, ist die faktorisierte Form einfach das Produkt dieses ggTs und der Summe der Terme in dem Originalpolynom, dividiert durch das ggT.
Schau zum Beispiel wie wir diese schnelle Methode benutzen, um 5, x, squared, plus, 10, x zu faktorisieren, dessen ggT start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99 ist:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Binome ausklammern

Der gemeinsame Faktor in einem Polynom muss kein Monom sein.
Untersuche zum Beispiel das Polynom x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Beachte, dass das Binom start color #0c7f99, 2, x, minus, 1, end color #0c7f99 bei beiden Terme vorkommt. Wir können dieses Binom ausklammern, indem wir das Distributivgesetz benutzen:
x, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, minus, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, right parenthesis

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 5
Klammere den größten gemeinsamen Faktor in dem folgenden Polynom aus.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Verschieden Arten der Faktorisierung

Es scheinen so, dass wir den Begriff "faktorisieren" benutzt haben, um verschiedene Prozesse zu beschreiben:
  • Wir faktorisierten Monome, indem wir sie als Produkt von anderen Monomen schreiben. Zum Beispiel, 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
  • Wir faktorisierten das ggT von Polynomen, indem wir das Distributivgesetz benutzen. Zum Beispiel, 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Wir haben gemeinsame binomische Faktoren ausgeklammert, was zu einem Ausdruck führte, der dem Produkt zweier Binome entspricht. Zum Beispiel:
x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
Obwohl wir verschiedene Techniken benutzen könnten, in jedem Fall schreiben wir das Polynom als ein Produkt von zwei oder mehr Faktoren. Daher faktorisierten wir in der Tat in allen drei Beispielen, das Polynom.

Challenge Aufgaben

Aufgabe 6
Klammere den größten gemeinsamen Faktor in dem folgenden Polynom aus.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

Aufgabe 7
Ein großes Rechteck mit einer Fläche von 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared Quadratmetern ist aufgeteilt in zwei kleinere Rechtecke mit den Flächen 14, x, start superscript, 4, end superscript und 6, x, squared Quadratmetern.
Die Breite des Rechtecks (in Metern) entspricht dem größten gemeinsamen Faktor von 14, x, start superscript, 4, end superscript und 6, x, squared.
Was ist die Länge und Breite des großen Rechtecks?
start text, B, r, e, i, t, e, end text, equals
Meter
start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, end text, equals
Meter

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