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Algebra - Grundlagen

Kurs: Algebra - Grundlagen > Lerneinheit 7

Lektion 8: Quadratische Terme faktorisieren
Mathematik
Algebra - Grundlagen
Polynome zweiter und höherer Ordnung
Quadratische Terme faktorisieren
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Quadratische Terme in jeder Form faktorisieren

Google Classroom
Verbinde alles, was du über das quadratische Faktorisieren gelernt hast, um verschiedene quadratische Ausdrücke jeder Form zu faktorisieren.

Was du für diese Lektion wissen musst

Die folgenden Faktorisierungsmethoden werden in dieser Lektion genutzt:

Was du in dieser Lektion lernst

In diesem Artikel übst du das Zusammenfügen dieser Methode um quadratische Ausdrücke jeder Form vollständig zu faktorisieren.

Einführung: Wiederholung von Faktorisierungsmethoden

MethodeBeispielWann ist sie anwendbar?
Gemeinsame Faktoren ausklammern= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Wenn jeder Term im Polynom einen gemeinsamen Faktor teilt.
Das Summen-Produkt-Verfahren= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Wenn das Polynom die Form x, squared, plus, b, x, plus, c hat und es die Faktoren c gibt, die addiert b ergeben.
Die Gruppierungsmethode= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Wenn das Polynom die Form a, x, squared, plus, b, x, plus, c hat und es Faktoren a, c gibt, die addiert b ergeben.
Quadratische Trinome (1. und 2. Binomische Formel)= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Wenn der erste und letzte Term Quadrate sind und der mittlere Term zweimal dem Produkt deren Quadratwurzeln beträgt.
Differenz von Quadraten (3. Binomische Formel)=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Wenn der Ausdruck eine Differenz von Quadraten darstellt.

Alles zusammengefasst

In der Praxis, wird dir selten gesagt, welche Art von Faktorisierungsmethode(n) du benutzt, wenn du auf eine Aufgabe triffst. Daher ist es wichtig, dass du eine Art von Checkliste für den Gebrauch zu entwickeln, die den Faktorisierungsprozess leichter macht.
Hier ist ein Beispiel einer solchen Checkliste, bei der eine Reihe von Fragen gestellt werden um festzulegen, wie ein quadratisches Polynom faktorisiert wird.

Quadratische Terme faktorisieren

Bevor du mit einer Faktorisierungsaufgabe beginnst, ist es hilfreich deinen Ausdruck in der Standardform zu schreiben.
Sobald dies der Fall ist, kannst du mit der folgenden Liste von Fragen weitermachen:
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Wenn nicht, geh zur Frage 2. Wenn ja, klammere das ggT aus und mache mit Frage 2 weiter.
Das Ausklammern des ggT ist ein sehr wichtiger Schritt bei dem Faktorisierungsprozess, da das die Zahlen kleiner macht. Dies wiederum macht es einfacher Muster zu finden!
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten (d.h.. x, squared, minus, 16 oder 25, x, squared, minus, 9)?
Wenn das Differenz von Quadraten-Muster auftritt, faktorisiere mit dem Verfahren a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis. Wenn nicht, gehe weiter zu Frage 3.
Frage 3: Ist es ein quadratisches Trinom (d.h. x, squared, minus, 10, x, plus, 25 oder 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9)?
Wenn ein quadratisches Trinom vorhanden ist, faktorisiere mit Hilfe des Verfahren a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared. Wenn nicht gehe zu Frage 4.
Frage 4:
a) Gibt es einen Ausdruck der Form x, squared, plus, b, x, plus, c?
Wenn nicht, gehe zu Frage 5. Wenn ja, gehe zu b).
b) Gibt es Faktoren von c, die addiert b ergeben?
Wenn ja, dann faktorisierst du mit Hilfe des Summen-Produkt-Verfahren. Sonst kann der quadratische Ausdruck nicht weiter faktorisiert werden.
Frage 5: Gibt es Faktoren von a, c, die addiert b ergeben?
Wenn du bis hier gekommen bist, muss der quadratische Ausdruck die Form a, x, squared, plus, b, x, plus, c haben, wobei a, does not equal, 1. Gibt es Faktoren von a, c, die addiert b ergeben, dann faktorisiere mit der Gruppierungsmethode. Wenn nicht, kann der quadratische Ausdruck nicht weiter faktorisiert werden.
Das Befolgen dieser Checkliste hilft dir sicherzugehen, dass du den quadratischen Term vollständig faktorisiert hast!
Daran denkend versuchen wir ein paar Beispiele.

Beispiel 1: 5, x, squared, minus, 80 faktorisieren

Beachte, dass der Ausdruck bereits die Standardform hat. Wir können mit der Checkliste weitermachen.
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Ja. Der ggT von 5, x, squared und 80 ist 5. Wir können ihn wie folgt ausklammern:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten?
Ja. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Wir können das Differenz von Quadraten-Verfahren benutzen um mit dem Faktorisieren des Polynoms wie unten gezeigt weiterzumachen.
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Es gibt nicht mehr quadratische Terme in dem Ausdruck. Wir haben das Polynom vollständig faktorisiert.
Schlussfolgerung, 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Beispiel 2: 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 faktorisieren

Der quadratische Term ist wieder in der Standardform, Wir wollen mit der Checkliste beginnen!
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
No. Die Terme 4, x, squared, 12, x und 9 haben keinen gemeinsamen Faktor. Nächste Frage.
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten?
Nein. Es gibt einen x-Term, daher kann dies keine Differenz von Quadraten sein. Nächste Frage.
Frage 3: ist es ein quadratisches Trinom?
Ja. Der erste Term ist ein Quadrat, da 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared und der letzte Term ist ein Quadrat, da 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Auch ist der mittlere Term das zweifache des Produkts, die quadriert sind, da 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Wir können das Verfahren für ein quadratisches Trinom benutzen, um den quadratischen Ausdruck zu faktorisieren.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Schlussfolgerung, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Beispiel 3: 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared faktorisieren

Dieser quadratische Ausdruck ist momentan nicht in der Standardform. Wir können ihn als 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 umschreiben und dann die Checkliste abarbeiten.
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Ja. Der ggT von 3, x, squared, 12, x und 63 ist 3. Wir können ihn wie folgt ausklammern:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten?
Nein. Nächste Frage.
Frage 3: Gibt es ein quadratisches Trinom?
Nein. Beachte, dass 21 kein Quadrat ist, daher kann es kein quadratisches Trinom sein. Nächste Frage.
Frage 4a: Gibt es einen Ausdruck der Form x, squared, plus, b, x, plus, c?
Ja. Das sich ergebende quadratische Ausdruck, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, hat diese Form.
Frage 4b: Gibt es Faktoren von c, die addiert b ergeben?
Ja. Insbesondere gibt es die Faktoren minus, 21, die addiert 4 ergeben.
Da 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 und 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, können wir wie folgt mit dem Faktorisieren fortfahren:
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Schlussfolgerung, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Beispiel 4: 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10 faktorisieren

Beachte, dass dieser quadratische Ausdruck bereits die Standardform hat.
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Ja. Der ggT von 4, x, squared, 18, x und 10 ist 2. Wir können ihn wie folgt ausklammern:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten?
Nein. Nächste Frage.
Frage 3: Gibt es ein quadratisches Trinom?
Nein. Nächste Frage.
Frage 4a: Gibt es einen Ausdruck der Form x, squared, plus, b, x, plus, c?
Nein. Der führende Koeffizient bei dem quadratischen Faktor ist 2. Nächste Frage.
Frage 5: Gibt es Faktoren von a, c, die addiert b ergeben?
Der sich ergebende quadratische Ausdruck ist 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5 und daher wollen wir Faktoren von 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 finden, die addiert 9 ergeben.
Da left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 und left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9 ist die Antwort ja.
Wir können nun den mittleren Term schreiben als minus, 1, x, plus, 10, x und das Gruppieren zum Faktorisieren nutzen:
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)Teile den mittleren Term auf=2((2x2−1x)+(10x−5))Terme gruppieren=2(x(2x−1)+5(2x−1))ggTs ausklammern=2(2x−1)(x+5)ausklammern von 2x−1\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Teile den mittleren Term auf}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Terme gruppieren}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{ggTs ausklammern}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{ausklammern von $2x-1$}}} \end{aligned}

Überprüfe dein Verständnis

1) Faktorisiere 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16 vollständig.
Wähle eine Lösung.

2) Faktorisiere 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300 vollständig.

3) Faktorisiere 72, x, squared, minus, 2 vollständig.

4) Faktorisiere 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15 vollständig.
Wähle eine Lösung.

5) Faktorisiere 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8 vollständig.

6) Faktorisiere 56, minus, 18, x, plus, x, squared vollständig.

7) Faktorisiere 3, x, squared, plus, 27 vollständig.
Wähle eine Lösung.

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