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Algebra - Grundlagen

Kurs: Algebra - Grundlagen > Lerneinheit 7

Lektion 7: Quadratische Terme faktorisieren - Differenz von Quadraten (3. Binomische Formel)
Mathematik
Algebra - Grundlagen
Polynome zweiter und höherer Ordnung
Quadratische Terme faktorisieren - Differenz von Quadraten (3. Binomische Formel)
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Quadratische Terme faktorisieren - Differenz von Quadraten (3. Binomische Formel)

Google Classroom
Lerne wie du quadratische Ausdrücke faktorisierst, die die "Differenz von Quadraten" Form haben. Schreibe zum Beispiel x²-16 als (x+4)(x-4).
Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehr Polynomen zu schreiben. Es kehrt den Prozess der Multiplikation von Polynomen um.
In diesem Artikel lernen wir, wie wir das Differenz-von-Quadraten-Schema, anwenden, um bestimmte Polynome zu faktorisieren. Wenn du das Differenz-von-Quadraten-Schema nicht kennst, schau dir bitte unser Video an, bevor du weitermachst.

Einführung: Die 3. Binomische Formel

Jedes Polynom, das eine Differenz von Quadraten darstellt, kann mit Anwenden der folgenden Formel faktorisiert werden (3. Binomische Formel):
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Beachte, dass a und b in diesem Schema ein beliebiger algebraischer Ausdruck sein kann. Zum Beispiel erhalten wir für a, equals, x und b, equals, 2, folgendes:
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
Das Polynom x, squared, minus, 4 wir nun in der faktorisierten Form left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis ausgedrückt. Wir können die rechte Seite dieser Gleichung ausmultiplizieren um die Faktorisierung zu verifizieren:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Nun, da wir das Schema verstanden haben, wollen wir es benutzen, um ein paar weitere Polynome zu faktorisieren.

Beispiel 1: Faktorisieren von x, squared, minus, 16

x, squared und 16 sind Quadratzahlen, da x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared und 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Mit anderen Worten:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Da die zwei Quadrate subtrahiert werden, können wir sehen, dass diese Polynom eine Differenz von Quadraten darstellt. Wir können das Differenz von Quadraten-Verfahren (3. Binomische Formel) anwenden um diesen Ausdruck zu faktorisieren:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
In unserem Fall ist start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd und start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Daher faktorisieren wir unser Polynom wie folgt:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir sicherstellen, dass das Produkt dieser beiden Faktoren x, squared, minus, 16 ergibt.

Überprüfe dein Verständnis

1) Faktorisiere x, squared, minus, 25.
Wähle eine Lösung.

2) Faktorisiere x, squared, minus, 100.

Eine Frage zum Nachdenken

3) Können wir das Differenz von Quadraten-Verfahren (3. Binomische Formel) anwenden um x, squared, plus, 25 zu faktorisieren?
Wähle eine Lösung.

Beispiel 2: Faktorisieren von 4, x, squared, minus, 9

Der führende Koeffizient muss nicht gleich 1 sein um das Differenz von Quadraten-Verfahren (3. Binomische Formel) anzuwenden. in der Tat kann das Differenz von Quadraten-Verfahren hier angewendet werden!
Das ist so, weil 4, x, squared und 9 Quadratzahlen sind, da 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared und 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Wir können diese Information nutzen um das Polynom mit dem Differenz von Quadraten-Verfahren (3. Binomische Formel) zu faktorisieren:
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Eine schnelle Multiplikationsprüfung bestätigt unsere Lösung.

Überprüfe dein Verständnis

4) Faktorisiere 25, x, squared, minus, 4.
Wähle eine Lösung.

5) Faktorisiere 64, x, squared, minus, 81.

6) Faktorisiere 36, x, squared, minus, 1.

Challenge Aufgaben

7*) Faktorisiere x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.

8*) Faktorisiere 4, x, squared, minus, 49, y, squared.

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