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Quadratische Terme faktorisieren - Differenz von Quadraten (3. Binomische Formel)

Lerne wie du quadratische Ausdrücke faktorisierst, die die "Differenz von Quadraten" Form haben. Schreibe zum Beispiel x²-16 als (x+4)(x-4).
Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehr Polynomen zu schreiben. Es kehrt den Prozess der Multiplikation von Polynomen um.
In diesem Artikel lernen wir, wie wir das Differenz-von-Quadraten-Schema, anwenden, um bestimmte Polynome zu faktorisieren. Wenn du das Differenz-von-Quadraten-Schema nicht kennst, schau dir bitte unser Video an, bevor du weitermachst.

Einführung: Die 3. Binomische Formel

Jedes Polynom, das eine Differenz von Quadraten darstellt, kann mit Anwenden der folgenden Formel faktorisiert werden (3. Binomische Formel):
a2b2=(a+b)(ab)
Beachte, dass a und b in diesem Schema ein beliebiger algebraischer Ausdruck sein kann. Zum Beispiel erhalten wir für a=x und b=2, folgendes:
x222=(x+2)(x2)
Das Polynom x24 wir nun in der faktorisierten Form (x+2)(x2) ausgedrückt. Wir können die rechte Seite dieser Gleichung ausmultiplizieren um die Faktorisierung zu verifizieren:
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24
Nun, da wir das Schema verstanden haben, wollen wir es benutzen, um ein paar weitere Polynome zu faktorisieren.

Beispiel 1: Faktorisieren von x216

x2 und 16 sind Quadratzahlen, da x2=(x)2 und 16=(4)2. Mit anderen Worten:
x216=(x)2(4)2
Da die zwei Quadrate subtrahiert werden, können wir sehen, dass diese Polynom eine Differenz von Quadraten darstellt. Wir können das Differenz von Quadraten-Verfahren (3. Binomische Formel) anwenden um diesen Ausdruck zu faktorisieren:
a2b2=(a+b)(ab)
In unserem Fall ist a=x und b=4. Daher faktorisieren wir unser Polynom wie folgt:
(x)2(4)2=(x+4)(x4)
Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir sicherstellen, dass das Produkt dieser beiden Faktoren x216 ergibt.

Überprüfe dein Verständnis

1) Faktorisiere x225.
Wähle eine Lösung.

2) Faktorisiere x2100.

Eine Frage zum Nachdenken

3) Können wir das Differenz von Quadraten-Verfahren (3. Binomische Formel) anwenden um x2+25 zu faktorisieren?
Wähle eine Lösung.

Beispiel 2: Faktorisieren von 4x29

Der führende Koeffizient muss nicht gleich 1 sein um das Differenz von Quadraten-Verfahren (3. Binomische Formel) anzuwenden. in der Tat kann das Differenz von Quadraten-Verfahren hier angewendet werden!
Das ist so, weil 4x2 und 9 Quadratzahlen sind, da 4x2=(2x)2 und 9=(3)2. Wir können diese Information nutzen um das Polynom mit dem Differenz von Quadraten-Verfahren (3. Binomische Formel) zu faktorisieren:
4x29=(2x)2(3)2=(2x+3)(2x3)
Eine schnelle Multiplikationsprüfung bestätigt unsere Lösung.

Überprüfe dein Verständnis

4) Faktorisiere 25x24.
Wähle eine Lösung.

5) Faktorisiere 64x281.

6) Faktorisiere 36x21.

Challenge Aufgaben

7*) Faktorisiere x49.

8*) Faktorisiere 4x249y2.

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