Komplexe Verhältnisse lösen

Wir haben ein Verhältnis von x minus 9 zu 12, das dem Verhältnis 2/3 entsprechen soll. Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir nach x umstellen. Es gibt mehrere Lösungswege. Viele multiplizieren kreuzweise, sobald sie diese Art von Gleichungen sehen. Sie stellen fest, dass 3 mal x-9 das Gleiche ist wie 2 mal 12. Diese Vorgehensweise ist natürlich in Ordnung. Wir multiplizieren also den Nenner von rechts [3] mit dem Zähler von links [x-9] und setzen mit der Multiplikation vom rechten Zähler [2] mit dem linken Nenner [12] gleich, um im nächsten Schritt mit 3 auszumultiplizieren. Wir erhalten folgende Gleichung: 3x minus 27 gleich 24. Danach addieren wir 27 auf beiden Seiten hinzu. Links stünde der Term 3x-27+27 und rechts hätten wir die Rechnung 24+27. Zusammengefasst erhalten wir 3x gleich 51. Jetzt teilen wir beide Seiten mit 3, sodass wir x gleich 17 erhalten. Wir prüfen das Ergebnis, indem wir unser x einsetzen. Im Zähler erhalten wir 8 und 8/12 ist das Gleiche wie 2/3 [(8÷4/12÷4) = (2*4/3*4)]. Unser Ergebnis ist also richtig. Eine weitere Vorgehensweise neben der Kreuzmultiplikation wäre folgende: Wir möchten die 12 im Nenner eliminieren, daher multiplizieren wir beide Seiten mit 12. Multipliziert man beide Seiten mit 12, erhalten wir auf der linken Seite den Term x-9 und auf der rechten Seite entsteht durch die Multiplikation von 2/3 und 12 der Wert 8. Bei der ausführlichen Multiplikation würden wir 2/3 mit 12 Ganzen multiplizieren. 12 geteilt durch 3 ergibt 4 und 3 geteilt durch 3 ergibt 1. Also haben wir 2 mal vier Ganze, was den Wert 8 ergibt. Und dann addiert man 9 auf beiden Seiten hinzu. Wir sehen: Man erhält ein richtiges Ergebnis, solange der Rechenweg logisch nachvollziehbar und mathematisch korrekt ist. Es gibt also mehrere Lösungswege. Das Ergebnis würde x gleich 17 lauten. Wir könnten außerdem beide Seiten mit 12 und mit 3 multiplizieren, was abermals zur Kreuzmultiplikation führen würde. Wir machen ein weiteres Beispiel: Wir haben wieder zwei Brüche in einer Gleichung, aber dieses mal steht x im Nenner. Auch bei dieser Gleichung kann man kreuzweise multiplizieren. Wir wollen noch einmal verinnerlichen, welcher Gedanke hinter der Kreuzmultiplikation steckt. Bei der Kreuzmultiplikation handelt es sich um eine mathematisch korrekte Vorgehensweise. Im Grunde genommen multiplizieren wir beide Seiten mit beiden Nennern. Wir verwandeln den Bruch auf der linken Seite in eine natürliche Zahl, indem wir die 8 im linken Nenner mit dem gesamten linken Bruch multiplizieren. Aber damit die Gleichung stimmt, müssen beide Seiten gleichwertig sein, also multiplizieren wir auch die rechte Seite mit der 8. Auf die gleiche Art und Weise verwandeln wir den rechten Bruch in eine natürliche Zahl. Der Nenner x+1 „verschwindet“ also, indem wir rechts mit x+1 multiplizieren. Und natürlich müssen wir wieder die Gleichwertigkeit auf beiden Seiten herstellen. Diese Vorgehensweise entspricht demzufolge der Kreuzmultiplikation, da sich diese beiden 8 auf der linken Seite kürzen lassen, genau so wie der Term x+1 auf der rechten Seite gekürzt wird. Nachdem wir alles gekürzt haben, notieren wir den Term x+1 und multiplizieren diesen mit der 7 aus dem linken Zähler. Das setzen wir dann mit der 5 aus dem rechten Zähler mal 8 gleich. Du siehst, es ist prinzipiell das gleiche Vorgehen wie bei der Kreuzmultiplikation. Die Kreuzmultiplikation ist also die verkürzte Form zu der ausführlichen Multiplikation der beiden Nenner. Das Produkt aus dem Zähler links [7] und dem Nenner rechts [x+1] wird mit Produkt aus dem Nenner links [5] und dem Zähler rechts [8] gleichgesetzt. Um die Gleichung zu lösen, multiplizieren wir die Klammer mit 7 und erhalten 7x+7=40. Danach subtrahieren wir beide Seiten mit 7 (und achten somit auf die Gleichwertigkeit) und erhalten 7x gleich 33. Wenn wir jetzt beide Seiten durch 7 teilen, können wir links mit der 7 kürzen und erhalten x gleich 33/7. Wenn wir 33/7 in eine gemischte Zahl umwandeln wollen, notieren wir vier Ganze und einen Rest von 4/5. Das wär's!