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Kurs: Algebra - Grundlagen > Lerneinheit 4

Lektion 7: Geradengleichungen in der Hauptform schreiben

Geradengleichungen in der Hauptform schreiben

Lerne wie man die Achsenabschnitts-Gleichung der Steigung anhand einer Linie zwischen zwei Punkten auf der Linie ermittelt.

Wenn du das bis jetzt noch nicht gelesen hast, wirst du vielleicht beginnen wollen mit unserer Einführung in die Normalform.

Gleichungen anhand eines $y$ ‍-Achsenabschnitts und eines weiteren Punktes schreiben

Wir wollen eine Gleichung der Gerade in der Normalform schreiben, die durch die Punkte

(0 | 3)

und

(2 | 7)

geht.

Erinnere dich, dass bei der allgemeinen Normalform

y = m x + b

die Steigung durch

m

und der

y

-Achsenabschnitt durch

b

gegeben ist.

Bestimmen von $b$ ‍

Der

y

-Achsenabschnitt der Gerade ist

(0 | 3)

, daher wissen wir, dass

b = 3

Bestimmen von $m$ ‍

Erinnere dich daran, dass die Steigung einer Geraden die Beziehung der Veränderung

y

im Bezug auf die Veränderung von

x

zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Gerade ist:

Steigung = \frac{Änderung bei y}{Änderung bei x}

Daher ist dies die Steigung zwischen den Punkten

(0 | 3)

und

(2|7):

\begin{aligned} m & = \frac{Änderung bei y}{Änderung bei x} \\ = \frac{7 - 3}{2 - 0} \\ = \frac{4}{2} \\ = 2 \end{aligned}

Daher ist die Gleichung der Geraden: $y = 2 x + 3$ ‍.

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 1

Schreibe die Gleichung der Geraden.

Aufgabe 2

Schreibe die Gleichung der Geraden.

Gleichungen anhand zweier beliebiger Punkte schreiben

Wir schreiben die Gleichung der Geraden so, dass sie durch

(2 | 5)

und

(4|9) bei der Normalform verläuft.

Beachte, dass wir nicht den

y

-Achsenabschnitt der Gerade gegeben haben. Dieses macht die Sache etwas schwieriger, aber wir fürchten uns nicht vor einer Herausforderung!

Bestimmen von $m$ ‍

\begin{aligned} m & = \frac{Änderung bei y}{Änderung bei x} \\ = \frac{9 - 5}{4 - 2} \\ = \frac{4}{2} \\ = 2 \end{aligned}

Bestimmen von $b$ ‍

Wir wissen, dass die Gerade die Form

y = 2 x + b

hat, aber wir müssen noch

b

herausfinden. Um das zu tun, setzen wir den Punkt

(2 | 5)

in die Gleichung ein.

Weil jeder Punkt auf der Gerade diese Geradengleichung erfüllen muss, erhalten wir eine Gleichung, die wir lösen können, um

b

zu ermitteln.

Das Einsetzen von

(2 | 5)

in die Gleichung ist das Gleiche wie das Einsetzen von

x = 2

und

y = 5

in die Gleichung.

Beachte, dass jeder Punkt auf dem Graphen einer Gleichung mit zwei Variablen eine Lösung dieser Gleichung ist. Das heißt, wenn wir den Punkt in die Gleichung ersetzen erhalten wir eine wahre Aussage.

Um eine andere Gleichung als Beispiel zu verwenden, ist der Punkt

(3 | 1)

auf der Linie

y = x - 2

. Dies bedeutet, dass das Einsetzen des Punkts in die Gleichung zu einer wahren Aussage führt:

\begin{aligned} y & = x - 2 \\ 1 & = 3 - 2 & x = 3 und y = 1 \\ 1 & = 1 \end{aligned}

In unserer Lösung machen wir das Gleiche, wir kennen nur nicht die ganze Gleichung der Gerade. Das Einsetzen eines Punktes, von dem wir wissen, dass er auf der Gerade liegt, hilft uns das fehlende

b

zu ermitteln.

\begin{aligned} y & = 2 \cdot x + b \\ 5 & = 2 \cdot 2 + b & x = 2 und y = 5 \\ 5 & = 4 + b \\ 1 & = b \end{aligned}

Daher ist die Gleichung der Geraden: $y = 2 x + 1$ ‍.

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 3

Schreibe die Gleichung der Geraden.

Aufgabe 4

Schreibe die Gleichung der Geraden.

Challengeaufgabe

Die Gerade geht durch die Punkte

(5 | 35)

und

(9 | 55)

Schreibe die Gleichung der Geraden.

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Gleichungen anhand eines y‍ -Achsenabschnitts und eines weiteren Punktes schreiben

Bestimmen von b‍

Bestimmen von m‍

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Gleichungen anhand zweier beliebiger Punkte schreiben

Bestimmen von m‍

Bestimmen von b‍

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Gleichungen anhand eines $y$ ‍-Achsenabschnitts und eines weiteren Punktes schreiben

Bestimmen von $b$ ‍

Bestimmen von $m$ ‍

Bestimmen von $m$ ‍

Bestimmen von $b$ ‍