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Algebra - Grundlagen

Kurs: Algebra - Grundlagen > Lerneinheit 4

Lesson 6: Einführung in die Geradengleichung in Hauptform
Mathematik
Algebra - Grundlagen
Geraden und Steigung zeichnen
Einführung in die Geradengleichung in Hauptform
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Einführung in die Normalform einer Geradengleichung

Google Classroom
Lerne, wie die Geradengleichung in Hauptform einer linearen Gleichung mit zwei Variablen aussieht und wie du sie interpretierst, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

  • Was ist die Normalform einer Geradengleichung von Gleichungen mit zwei Variablen
  • Wie wir die Steigung und den y-Achsenabschnitt einer Geraden von ihrer Normalform der Geradengleichung ermitteln
  • Wie wir die Gleichung einer Gerade ermitteln, wenn die Steigung und der y-Achsenabschnitt gegeben ist

Was ist die Normalform einer Geradengleichung?

Die Normalform ist eine spezielle Form von linearen Gleichungen. Sie hat die folgende allgemeine Struktur. Trommelwirbel ...
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
Hier können start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 und start color #0d923f, b, end color #0d923f beliebige reelle Zahlen sein. Zum Beispiel sind dies lineare Gleichungen in der Normalform:
Auf der anderen Seite, diese linearen Gleichungen sind nicht in der Normalform:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
Die Normalform ist die bedeutendste Form von linearen Gleichungen. Wir wollen etwas tiefer graben um zu lernen warum das so ist.

Die Koeffizienten bei der Normalform einer Geradengleichung

Abgesehen davon dass sie schön und einfach ist, ist der Vorteil der Normalform, dass sie uns zwei Haupt-Merkmale der Gerade wiedergibt, die sie darstellt:
  • Die Steigung ist start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
  • Die y-Koordinate des y-Achsenabschnittes ist start color #0d923f, b, end color #0d923f. Mit anderen Worten ist der y-Achsenabschnitt der Gerade bei left parenthesis, 0, vertical bar, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
Zum Beispiel hat die Gerade y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f eine Steigung von start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 und einen y-Achsenabschnitt bei left parenthesis, 0, vertical bar, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achsen sind jeweils mit Eins skaliert. Der Graph der Geraden ist y gleich zwei x plus eins. Der y-Achsenabschnitt, Null, Eins, ist eingezeichnet und beschriftet. Es gibt eine horizontale gepunktete Strecke von Null, Eins bis Eins, Eins. Es gibt eine vertikale gepunktete Strecke von Eins, Eins bis Eins, Drei. Die gepunkteten Strecken sind mit der Beschriftung Steigung gleich Zwei versehen.
Die Tatsache, dass diese Form uns die Steigung und den y-Achsenabschnitt wiedergibt, ist der Grund warum sie auch Steigungs-Achsenabschnitt-Form genannt wird!

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 1
Wie groß ist die Steigung der Gerade, die durch y, equals, 5, x, minus, 7 dargestellt wird?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 2
Wie groß ist die Steigung der Gerade, die durch y, equals, x, plus, 9 dargestellt wird?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 3
Was ist der y-Achsenabschnitt der Gerade, die durch y, equals, minus, 6, x, minus, 11 dargestellt wird?
Wähle eine Lösung.

Aufgabe 4
Was ist der y-Achsenabschnitt der Gerade, die durch y, equals, 4, x dargestellt wird?
Wähle eine Lösung.

Aufgabe 5
Wie groß ist die Steigung der Gerade, die durch y, equals, 1, minus, 8, x dargestellt wird?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 6
Welche Geraden haben einen y-Achsenabschnitt bei left parenthesis, 0, vertical bar, 4, right parenthesis?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Frage zum Nachdenken
Wie ermitteln wir die Steigung einer Geraden, die in der Normalform gegeben ist?
Wähle eine Lösung.

Challenge-Aufgabe 1
Ein Koordinatensystem. Die horizontale Achse ist mit x beschriftet. Die vertikale Achse ist mit y beschriftet. Der Graph der Geraden fällt von links nach rechts und hat einen positiven y-Achsenabschnitt.
Welche dieser Gleichungen kann die Gleichung der Gerade sein?
Wähle eine Lösung.

Challenge-Aufgabe 2
Schreibe eine Gleichung einer Gerade, deren Steigung 10 ist und deren y-Achsenabschnitt left parenthesis, 0, vertical bar, minus, 20, right parenthesis ist.

Warum funktioniert das?

Du wunderst dich vielleicht, wie es ist, dass in der Normalform, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 uns die Steigung angibt und start color #0d923f, b, end color #0d923f uns den y-Achsenabschnitt.
Kann das eine Art von Magie sein? Gut es ist sicherlich nicht Magie. In der Mathematik gibt es immer eine Begründung. Bei diesem Thema schauen wir uns diese Eigenschaft an, indem wir die Gleichung y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f als Beispiel benutzen.

Warum start color #0d923f, b, end color #0d923f den y-Achsenabschnitt wiedergibt

Bei dem y-Achsenabschnitt ist der x-Wert immer Null. Daher sollten wir, wenn wir den y-Achsenabschnitt von y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f herausfinden willen, x, equals, 0 setzen und nach y auflösen.
y=2x+1=2⋅0+1Setze x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Setze }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Wir sehen, dass bei dem y-Acjsenabschnitt, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x Null wird und daher bleibt y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f übrig.

Warum start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 die Steigung wiedergibt

Wir wollen unsere Erinnerung darüber auffrischen, was eine Steigung genau ist, Die Steigung ist das Verhältnis der Veränderung in y zu der Veränderung in x zwischen zwei Punkten auf der Gerade.
start text, S, t, e, i, g, u, n, g, end text, equals, start fraction, start text, A, with, \", on top, n, d, e, r, u, n, g, space, b, e, i, space, end text, y, divided by, start text, A, with, \", on top, n, d, e, r, u, n, g, space, b, e, i, space, end text, x, end fraction
Wenn wir zwei Punkte nehmen wo die Änderung in x genau 1 Einheit ist, dann ist die Änderung in y gleich der Steigung selbst.
start text, S, t, e, i, g, u, n, g, end text, equals, start fraction, start text, A, with, \", on top, n, d, e, r, u, n, g, space, b, e, i, space, end text, y, divided by, 1, end fraction, equals, start text, A, with, \", on top, n, d, e, r, u, n, g, space, b, e, i, space, end text, y
Nun schauen wir uns an was mit den y-Werten in der Gleichung y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f passiert, wenn die x-Werte konstant um 1 Einheit ansteigen.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
Wir sehen, dass jedes Mail wenn x um 1 Einheit ansteigt, y um start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 Einheiten ansteigt. Dies ist so, weil x die Vielfachen von start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 bei der Berechnung von y festlegt.
Wir oben angegeben, ist die Änderung in y, die dem Ansteigen von X um 1 Einheit entspricht gleich der Steigung der Gerade. Aus diesem Grund ist die Steigung start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Challenge Aufgabe 3
Ein Koordinatensystem. Die x- und y-Achsen sind jeweils mit Eins skaliert. Der Graph einer Geraden geht durch die Punkte Null, minus Drei und Eins, Eins. Diese beiden Punkte sind eingezeichnet und beschriftet.
Vervollständige die Gleichung der Gerade.
y, equals

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