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Textaufgabe zur Exponentialschreibweise: Deutschlands Schulden

Video-Transkript
Am 2. Februar 2010 schätzte das US-Finanzministerium die Staatsschulden auf 1,2270 x 10^13. Und nur um eine Idee davon zu erhalten, wie viel das ist: 1 x 10^6 ist eine Million. 1 x 10^9 ist eine Milliarde. 1 x 10^12 ist eine Billion. Wir sprechen hier also von einer Grössenordnung von 10 Billionen Dollar. Es sind also etwa 12 Billionen Dollar. Dann wird gesagt, dass das US-Statistikamt die Bevölkerung in den USA auf etwa 3,086 x 10^8 schätzt. Das sind etwas mehr als 300 Millionen Personen. Das ist also ein interessante Zahl hier. Die Anzahl der Bevölkerung. Man will nun, dass man anhand dieser Schätzung die Staatsverschuldung pro Kopf ausrechnet. Wir müssen also die Gesamtsumme der Staatsverschuldung durch die Anzahl Personen dividieren. Somit erhalten wir den Pro-Kopf-Anteil der Staatsverschuldung. Wir sollen die Exponentialschreibweise für die Berechnungen anwenden und die Antwort sowohl in Exponentialschreibweise wie auch als Dezimalzahl ausgeben. Also als eine "herkömmliche" Zahl. Runde bis auf vier Nachkommastellen bei den Berechnungen. Wir wollen also die Staatsverschuldung pro Kopf ausfindig machen. Wir nehmen die gesamte Staatsverschuldung und dividieren dies durch die Anzahl der Bevölkerung. Die gesamte Staatsverschuldung beträgt 1,2278 x 10^13. Das wollen wir durch die Anzahl der Bevölkerung dividieren, welche 3,086 x 10^8 beträgt. Wir können daraus nun zwei Divisionen machen. Wir können einerseits diesen Teil hier nehmen: 1,2278 geteilt durch 3,086. Und dann (andererseits) mal 10^13 geteilt durch 10^8. Was ergibt 10^13 geteilt durch 10^8? 10^13 geteilt durch 10^8. Ich stelle mir das so vor, dass dies das Gleiche ist wie 10^13 mal 10^-8. Hat man eine 10^8 im Nenner, dann heisst dies multiplizieren mit 10^-8. Wir haben die gleiche Basis mit der 10. 10^13 mal 10^-8 ist gleich ... (Rechnung bei Exponenten 13 minus 8). Wir erhalten 10^5. Oder anders gesagt: Wenn du die Basis im Nenner hast, subtrahierst du die Exponenten, also 13-8. Das gibt 10^5. Wir rechnen diesen Ausdruck (blau) mal 10^5. Ich nehme nun einen Taschenrechner hervor, um dies hier auszurechnen. Und man sagt uns, wir sollen alles bis auf vier Kommastellen runden. Ich erinnere mich daran. Ich schalte den Taschenrechner ein. 1,2278 geteilt durch 3,086 ist gleich 0,3979. Damit haben wir nun gerundet. Ich verschiebe den Taschenrechner auf die Seite, um nachzuschauen. Diese Division hier resultiert in ... Wir erhalten 0,3979. Und dann natürlich noch mal 10^5 ... Dollar pro Person. Und auch hier könnte man der falschen Annahme sein, dass dies bereits in Exponentialschreibweise steht. Man hat ja eine Zahl mal eine Zahl hoch etwas. Aber merke: Diese Zahl ist nicht grösser oder gleich 1. Formell gesehen muss für die Exponentialschreibweise diese Zahl grösser oder gleich 1 sein und weniger als 10 sein. Was wir machen können, ist hier zu multiplizieren. Um den Wert nicht zu verändern, können wir dies hier mit 10 multiplizieren und diese Zahl hier durch 10 teilen. Dies hier könnte auch umgeschrieben werden als 0,3979 mal 10 mal 10^4. 0,3979 x 10 x 10^4. Ich habe nun aus der 10^5 in eine 10 und eine 10^4 aufgeteilt. Und ich habe das getan, weil ich dies mit 10 multiplizieren möchte. Sodass ich eine 3 am Anfang ansstelle einer 0,3 habe. Wenn ich das nun multipliziere ... Ich nahm hier sozusagen eine "10" von der 10^5. Ich teilte es durch 10 und multipliziert hier mal 10, um den Wert nicht zu verändern. Hier haben wir nun 3,979 x 10^4. So viel beträgt also die Staatsverschuldung pro Kopf in Exponentialschreibweise. 3,979 x 10^4. Wir sollen es aber auch als Dezimalzahl ausdrücken. Das heisst als "normale" Zahl im Dezimalsystem. Was ergibt 3,979 mal 10^4? Wir haben 3,979 x 10^4. Oder machen wir es doch so ... Wir verschieben die Kommastelle. Wenn wir mit 10 multiplizieren, dann erhalten wir 39,79. Wenn wir mit 10^2 multiplizieren, dann sind es 397,9. Wenn wir mit 10^3 multiplizieren, sind es 3979. Wenn wir es mit 10^4 multiplizieren, haben wir eine weitere 0 hier. Wir verschoben die Kommastelle 4 mal nach rechts. Ich kann es nun wie folgt schreiben: Dies ist gleich $ 39'.790. Wenn man die Staatsverschuldung pro Person ausrechnete, so wären es für jeden Mann , für jede Frau und jedes Kind in den den USA $ 39.970 Schulden.