Übungen: Gleichungen mit Mittelpunkten

K ist der Mittelpunkt der Strecke JL. Dadurch wissen wir, dass die Strecke JK, deckungsgleich zur Strecke KL ist, da beide die gleiche Länge haben. Und hier steht, dass JK = 8x - 8. Also ist diese Strecke hier gleich 8x - 8. Und hier steht, dass die Länge der Strecke KL = 7x - 6 ist. Also diese Strecke hier ist 7x - 6. Da K der Mittelpunkt ist, wissen wir, dass diese beiden Längen gleich ist. Um JL herauszufinden, müssen wir die Gesamtlänge herausfinden. Wir haben definiert, was x ist. Wenn wir wissen, was x ist, dann kennen wir diese beiden Längen. Und wir könnten entweder eine davon verdoppeln, oder sie zusammenrechnen, um die Länge der gesamten Strecke herauszufinden. Finden wir also zuerst heraus, was x ist. Am besten konzentrieren wir uns darauf, dass 8x - 8 gleich 7x - 6 ist. Und woher genau wissen wir das? Nun ja, uns wurde gesagt, dass K der Mittelpunkt von JL ist. Das ist der Mittelpunkt, wodurch wir wissen, dass diese Strecke genauso lang wie diese ist, oder 8x - 8 = 7x - 6. Um x herauszufinden, müssen wir Algebra anwenden. Wir vereinfachen jetzt diese Gleichung. Um alle x-werte auf die linke Seite zu bekommen, müssen wir 7x von beiden Seiten subtrahieren. Also machen wir das. Wir subtrahieren 7x von beiden Seiten. Und wenn wir alle konstanten Glieder auf eine Seite bekommen wollen, addieren wir 8 zu beiden Seiten, damit wir nicht die -8 dort stehen haben. Wir addieren also 8 zu beiden Seiten, und schauen uns an, was übrig bleibt. Auf der linken Seite steht keine 8 mehr, und 8x - 7x ergibt 1x. Und das ist gleich der rechten Seite, wo die 7x wegfallen. Und -6 + 8 ergibt 2. Also ist x = 2. Wir sind aber noch nicht fertig. Die Aufgabenstellung ist nicht, x herauszufinden, sondern JL. JL ist die Summe von JK und KL, oder, da K unser Mittelpunkt ist, ist es einfach das Doppelte von JK oder KL. Beides ist richtig. Jetzt sehen wir, dass die Länge der Strecke JK 8 mal 2 minus 8 ist. 8 mal 2 minus 8. Wir wissen jetzt, dass x = 2 ist. Hier rechnen wir 16 - 8, also ergibt das hier drüben 8. Und wenn wir JL herausfinden wollen, wissen wir, dass das die halbe Strecke ist, also muss das auch 8 sein. Und die Gesamtlänge von JL muss 16 ergeben. Und wenn du sicherstellen willst, dass alle Rechnungen stimmen, könntest du 2 hier drüben einsetzen. Und 7 mal 2 = 14, 14 - 6 = 8. Also kannst du auch von dieser Seite aus verifizieren, dass die Länge der Strecke KL ebenfalls 8 ist. 8 + 8 =16.