Kriterien und Postulate für die Änhlichkeit von Dreiecken

Wir haben ein Dreieck ABC. Wir haben ein Dreieck ABC. Das sieht etwa so aus. Das sieht etwa so aus. Was brauchen wir mindestens an Informationen, welche Postulate können wir aufstellen, um festzustelllen, ob ein anderes Dreieck ähnlich wie ABC ist. um festzustelllen, ob ein anderes Dreieck ähnlich wie ABC ist. Wir wissen bereits, dass, wenn alle drei entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) mit ABC sind Wir wissen bereits, dass, wenn alle drei entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) mit ABC sind Wir wissen bereits, dass, wenn alle drei entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) mit ABC sind, dass wir dann ein kongruentes Dreieck haben. Wenn das hier zum Beispiel 30 Grad sind, und dies 90 Grad, und dieser Winkel hier 60 Grad, und dies 90 Grad, und dieser Winkel hier 60 Grad, und wir ein anderes Dreieck haben, das so ähnlich aussieht, ist es ein kleineres Dreieck, aber hat entsprechende (korrespondierende) Winkel. Das hier ist 30 Grad, das 90 Grad und das 60 Grad. Das hier ist 30 Grad, das 90 Grad und das 60 Grad. Wir wissen, dass XYZ in diesem Fall ähnlich zu ABC ist. Das wissen wir, weil die entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) sind. Das wissen wir, weil die entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) sind. Das wissen wir, weil die entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) sind. Wir brauchen auch die richtige Reihenfolge, um sicherzustellen, dass wir die richtigen korrespondierenden Winkel haben. Y korrespondiert mit dem 90 Grad Winkel. X korrespondiert mit dem 30 Grad Winkel. A korrespondiert mit dem 30 Grad Winkel. A und X sind die erstesn, B und Y die zweiten, Und C und Z die letzten. Das wissen wir also, wenn wir 3 Winkel haben. Aber brauchen wir 3 Winkel? Wenn wir nur 2 Winkel hätten, wurde das nicht reichen? Ja, denn wenn wir 2 Winkel eines Dreiecks kennen, kenn wir auch den 3. Winkel. Ja, denn wenn wir 2 Winkel eines Dreiecks kennen, kenn wir auch den 3. Winkel. Wenn ich also ein weiteres Dreieck habe, das so aussieht, Wenn ich also ein weiteres Dreieck habe, das so aussieht, und ich Dir sage, dass nur 2 der Winkel kongruent sind. und ich Dir sage, dass nur 2 der Winkel kongruent sind. Dieser Winkel hier sei kongruent zu diesem, und dieser Winkel zu diesem. Wäre das genug, um zu sagen, dass die Dreiecke ähnlich sind? Ja, sicher. Weil es ein Dreieck ist, kennst Du den dritten Winkel, wenn Du 2 Winkel kennst. Weil es ein Dreieck ist, kennst Du den dritten Winkel, wenn Du 2 Winkel kennst. Wenn dieser Winkel 30 Grad hat und dieser 90 Grad, dann weißt Du, dass dieser 60 Grad haben muss. Wenn dieser Winkel 30 Grad hat und dieser 90 Grad, dann weißt Du, dass dieser 60 Grad haben muss. Was auch immer die beiden Winkel sind, Du musst sie von 180 Grad abziehen, und Du erhältst den dritten Winkel. Was auch immer die beiden Winkel sind, Du musst sie von 180 Grad abziehen, und Du erhältst den dritten Winkel. Um also Ähnlichkeit zu zeigen, brauchst Du nicht 3 korrespondierende Winkel zu zeigen Um also Ähnlichkeit zu zeigen, brauchst Du nicht 3 korrespondierende Winkel zu zeigen, Du brauchst lediglich 2. Das ist unser 1. Postulat für die Ähnlichkeit. Wir nennen es "Winkel-Winkel". Wenn Du zeigen kannst, dass zwei korrespondierende Winkel kongruent sind, dann haben wir ähnliche Dreiecke. Lass uns das mit Zahlen probieren. Wenn das 30 Grad sind, und das 90 Grad, und beide Dreiecke ähnlich sind Wenn das 30 Grad sind, und das 90 Grad, und beide Dreiecke ähnlich sind Wenn das 30 Grad sind, und das 90 Grad, und beide Dreiecke ähnlich sind Wenn das 30 Grad sind, und das 90 Grad, und beide Dreiecke ähnlich sind dann kannst Du leicht den 3. Winkel berechnen: 60 Grad! Dann kannst Du leicht den 3. Winkel berechnen: 60 Grad! Dann kannst Du leicht den 3. Winkel berechnen: 60 Grad! Alle drei Winkel sind sind gleich. Das ist eine der Bedingungen für Gleichheit. Wir wissen noch etwas über Ähnlichkeit: das Verhältnis aller Seiten ist dasselbe. Wir wissen noch etwas über Ähnlichkeit: das Verhältnis aller Seiten ist dasselbe. Wir wissen noch etwas über Ähnlichkeit: das Verhältnis aller Seiten ist dasselbe. Beispiel: Wir haben ein weiteres Dreieck hier. Beispiel: Wir haben ein weiteres Dreieck hier. Ich nenne es X,Y,Z Wir haben hier das Verhältnis zwischen AB und XY also AB geteilt durch XY also diese Seite zu dieser Seite. Wir sagen nciht, dass sie kongruent sind. Wir schauen uns nur ihr Verhältnis an. Wir sagen nciht, dass sie kongruent sind. Wir schauen uns nur ihr Verhältnis an. AB zu XY ist gleich BC zu YZ. Das ist gleich BC zu YZ. Und das ist gleich AC zu XZ. Das ist also ein Weg, dass wir sagen können: "Hey, das ist Ähnlichkeit" Wenn also bei allen 3 korrespondierenden Seiten das Verhältnis der jeweiligen Seiten dasselbe ist, dann haben wir ähnliche Dreiecke. das Verhältnis der jeweiligen Seiten dasselbe ist, dann haben wir ähnliche Dreiecke. das Verhältnis der jeweiligen Seiten dasselbe ist, dann haben wir ähnliche Dreiecke. Das nennen wir Seite-Seite-Seite-Ähnlichkeit. Und verwechsle das bitte nicht mit Seite-Seite-Seite Kongruenz. Und verwechsle das bitte nicht mit Seite-Seite-Seite Kongruenz. Das also sind unsere gesamen Postulate, oder Axiome, die wir annehmen, Das also sind unsere gesamen Postulate, oder Axiome, die wir annehmen, und damit können wir andere Probleme lösen oder Dinge beweisen. und damit können wir andere Probleme lösen oder Dinge beweisen Bei Seite-Seite-Seite Kongruenz sind alle korrespondierenden Seiten kongruent. Bei Seite-Seite-Seite Kongruenz sind alle korrespondierenden Seiten kongruent. Bei Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist das Verhältnis der korrespondierenden Seiten gleich. Bei Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist das Verhältnis der korrespondierenden Seiten gleich. Bei Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist das Verhältnis der korrespondierenden Seiten gleich. Beispiel: Dies hier sei 10, nein, lieber eine höhere Zahl nein, lieber eine höhere Zahl Dies hier sei 60 und dies 30. und das hier sei 30 mal die Quadratwurzel aus 3. Ich habe mir das ausgedacht, weil wir gleich lernen werden, dass typische Verhältnisse bei Dreiecken 30-60-90 sind. dass typische Verhältnisse bei Dreiecken 30-60-90 sind. Dies hier sei 6,3 und 3 mal die Quadratwurzel aus 3. Dies hier sei 6,3 und 3 mal die Quadratwurzel aus 3. AB geteilt durch XY: 30 mal die Quadratwurzel von 3 geteilt durch 3 mal die Quadratwurzel von 3. Das ist 10. AB geteilt durch XY: 30 mal die Quadratwurzel von 3 geteilt durch 3 mal die Quadratwurzel von 3. Das ist 10. Was ist BC geteilt durch XY? 30 geteilt durch 3 ist 10. Und was ist 60 geteilt durch 6 oder AC durch XZ? Nun, das ist 10. Generell also: um von einer Seite zur korrespondierenden Seite zu kommen, multiplizieren wir immer mit 10. Generell also: um von einer Seite zur korrespondierenden Seite zu kommen, multiplizieren wir immer mit 10. Generell also: um von einer Seite zur korrespondierenden Seite zu kommen, multiplizieren wir immer mit 10. Sie sind nicht kongruent. Die Seiten sind bezüglich der Ähnlichkeit gleich. Sie sind nicht kongruent. Die Seiten sind bezüglich der Ähnlichkeit gleich. Sie sind nicht kongruent. Die Seiten sind bezüglich der Ähnlichkeit gleich. Wir skalieren sie hoch mit der gleichen Menge. Wir skalieren sie hoch mit der gleichen Menge. Das Verhältnis zwischen den korrespondierenden Seiten ist gleich. Das Verhältnis zwischen den korrespondierenden Seiten ist gleich. Nächstes Beispiel. Ich zeichene ein weiteres Dreieck. Ich zeichene ein weiteres Dreieck. Lasst uns die Liste hier behalten Lasst uns ein weiteres Dreieck ABC zeichen. Lasst uns ein weiteres Dreieck ABC zeichen. Lasst uns ein weiteres Dreieck ABC zeichen. XY ist AB multipliziert mit einer Konstanten. XY ist AB multipliziert mit einer Konstanten. XY ist AB multipliziert mit einer Konstanten. Lass mich XY etwas größer zeichnen. Lass mich XY etwas größer zeichnen. Die Konstante könnte auch kleiner als 1 sein. Dann wäre das ein kleinerer Wert. Lass mich das mal machen. Ich mache XY etwas größer. Das hier sei X und das Y. XY geteilt durch AB ist also eine Konstante. XY geteilt durch AB ist also eine Konstante. Wenn Du beide Seiten mit AB multiplizierst erhältst Du XY in einer hochskalierten Version von AB. Falls AB 5 ist und XY ist 10, dann wäre unsere Konstante 2. Du hast es mit dem Faktor 2 hochskaliert. Angenommen, wir wissen auch, dass die Winkel ABC kongruent zu den Winkeln XYZ sind. Angenommen, wir wissen auch, dass die Winkel ABC kongruent zu den Winkeln XYZ sind. Ich füge hier einen weiteren Punkt zu. Lass mich eine weitere Seite hier zeichen. Das ist Z. Die Winkel ABC sind kongruent zu XYZ, das Verhältnis zwischen BC und YZ ist konstant. das Verhältnis zwischen BC und YZ ist konstant. Das Verhältnis zwischen BC und YZ ist gleich der derselben Konstante. Das Verhältnis zwischen BC und YZ ist gleich der derselben Konstante. Im Beispiel, wo das 5 und 10, ist das vielleicht 3 und 6. Mit der Konstanten verdoppeln wir die Länge der Seite. Mit der Konstanten verdoppeln wir die Länge der Seite. Ist das Dreick XYZ also ähnlich? XY ist das gleiche Vielfache von AB wie YZ ein Vielfaches von BC ist. XY ist das gleiche Vielfache von AB wie YZ ein Vielfaches von BC ist. Die Winkel sind gleich. Also gibt es nur ein Dreieck, das wir hier zeichnen können. Die Winkel sind gleich. Also gibt es nur ein Dreieck, das wir hier zeichnen können. Wir sind begrenzt auf das eine Dreieck hier, mit der Länge dieser Seite und der Länge dieser Seite. Wir brauchen das gleiche Verhältnis wie dort. Wir können dies also Seite-Winkel-Seite Ähnlichkeit nennen. Wir können dies also Seite-Winkel-Seite Ähnlichkeit nennen. Wir sahen SSS SWS auch in unseren Kongruenz-Postulaten aber wir sagen hier etwas anderes. aber wir sagen hier etwas anderes. SWS: Wenn das Verhältnis der korrespondierenden Seiten des wahren Dreiecks gleich sind SWS: Wenn das Verhältnis der korrespondierenden Seiten des wahren Dreiecks gleich sind, also AB und XY auf einer korrespondierenden Seite und eine andere zweite korrespondierende Seite also zwischen BC und YZ gleich ist und der Winkel kongruent ist, dann nennen wir das ähnlich. Bei SWS Kongruenz müssen die Seiten kongruent sein. Bei SWS Kongruenz müssen die Seiten kongruent sein. Hier sagen wir lediglich, dass das Verhältnis der korrespondierenden Seiten dasselbe ist. Hier sagen wir lediglich, dass das Verhältnis der korrespondierenden Seiten dasselbe ist. Lass mich noch ein paar Beispiele zeigen. Lass mich noch ein paar Beispiele zeigen. Das Dreieck hier hat die Längen 3,2,4. Wir haben ein weiteres Dreieck mit den Längen 9 und 6, Wir haben ein weiteres Dreieck mit den Längen 9 und 6, und die Winkel sind kongruent. Damit sind diese Winkel gleich. SWS in der Ähnlichkeitswelt sagt uns, dass diese Dreiecke definitv ähnlich Dreiecke sind. dass diese Dreiecke definitv ähnlich Dreiecke sind. Unter diesen Bedingungen können wir nur ein einziges Dreieck zeichnen. Unter diesen Bedingungen können wir nur ein einziges Dreieck zeichnen. Es ist das Dreieck, bei dem alle Seiten mit dem gleichen Betrag hochskaliert werden. Es ist das Dreieck, bei dem alle Seiten mit dem gleichen Betrag hochskaliert werden. Es gibt nur eine lange Seite, die wir noch zeichen können. Es gibt nur eine lange Seite, die wir noch zeichen können. Diese muss mit drei skaliert werden. Das ist das einzig mögliche Dreieck. Wenn Du diese Seite nimmst, sagst Du: "Das ist 3 mal diese Seite, das ist 3 mal diese Seite, und der Winkel ist kongruent "Das ist 3 mal diese Seite, das ist 3 mal diese Seite, und der Winkel ist kongruent dann gibt es nur ein Dreieck, das wir zeichnen können. Wir wissen auch, dass wir ein ähnliches Dreieck haben, wenn alles mit dem Faktor 3 skaliert wird. Wir wissen auch, dass wir ein ähnliches Dreieck haben, wenn alles mit dem Faktor 3 skaliert wird. Das eine Dreieck, das wir zeichnen können muss also das eine ähnliche Dreieck sein. Darum geht es, wenn wir über SWS reden. Wir sagen nicht, dass diese Seite kongruent mit der anderen Seite ist oder diese Seite mit dieser kongruent ist. Wir sagen, dass sie mit dem gleichen Faktor skaliert sind. Wir sagen, dass sie mit dem gleichen Faktor skaliert sind. Wenn wir ein anderes Dreieck hätten, das wie dieses ausschaut. Vielleicht ist das 9, das 4 und die Winkel sind kongruent Vielleicht ist das 9, das 4 und die Winkel sind kongruent, dann kannst Du NICHT sagen, daß diese ähnlich sind, wenn diese Seite ist mit 3 skaliert, diese aber mit dem Faktor 2. dann kannst Du NICHT sagen, daß diese ähnlich sind, wenn diese Seite ist mit 3 skaliert, diese aber mit dem Faktor 2. Hier kannst Du also nicht sagen, dass sie zwingend ähnlich sind. Hier kannst Du also nicht sagen, dass sie zwingend ähnlich sind. Wenn Du ein Dreieck hast mit der Länge 9 und 6 aber Du weißt nicht, ob die Winkel gleich sind aber Du weißt nicht, ob die Winkel gleich sind, dann hast Du nicht genügend Bedingungen. Du weisst nicht, ob diese zwei Dreiecke notwendig ähnlich sind, denn Du weisst nicht, ob der mittlere Winkel der gleiche ist. denn Du weisst nicht, ob der mittlere Winkel der gleiche ist. Du könntest jetzt sagen, dass wir doch noch ein paar andere Postulate hatten. Du könntest jetzt sagen, dass wir doch noch ein paar andere Postulate hatten. Es gab noch WWS, als wir über Kongruenz sprachen. Wir haben schon gezeigt dass zwei gleiche Winkel ausreichen, um Ähnlichkeit zu zeigen. Wir haben schon gezeigt dass zwei gleiche Winkel ausreichen, um Ähnlichkeit zu zeigen. Wir haben schon gezeigt dass zwei gleiche Winkel ausreichen, um Ähnlichkeit zu zeigen. Warum kümmern wir uns dann noch um Winkel, Winkel und eine Seite bzw. das Verhältnis zwischen Seiten? Warum kümmern wir uns dann noch um Winkel, Winkel und eine Seite bzw. das Verhältnis zwischen Seiten? Warum kümmern wir uns dann noch um Winkel, Winkel und eine Seite bzw. das Verhältnis zwischen Seiten? Wir hatten auch Winkel-Seite-Winkel bei der Kongruenz. Auch hier wissen wir, dass zwei Winkel genug sind. Wir brauchen also nicht noch die Seite dazuzunehmen. Wir brauchen das hier nicht. Das also sind unsere Ähnlichkeits-Postulate. Bitte erinnere Dich: Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist etwas anderes als Seite-Seite-Seite Kongruenz. Bitte erinnere Dich: Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist etwas anderes als Seite-Seite-Seite Kongruenz. Wir sprechen über das Verhältnis zwischen korrespondierenden Seiten. Wir sagen nicht, dass sie tatsächlich kongruent sind. Und hier: Seite-Winkel-Seite: Das ist etwas anderes als Seite-Winkel-Seite bei Kongruenz. Und hier: Seite-Winkel-Seite: Das ist etwas anderes als Seite-Winkel-Seite bei Kongruenz. Es hängt irgendwie zusammen. Aber hier sprechen wir über das Verhältnis der Seiten, Es hängt irgendwie zusammen. Aber hier sprechen wir über das Verhältnis der Seiten, nicht über ihre tatsächlichen Maße. nicht über ihre tatsächlichen Maße.