Die Regel von 72 für Zinseszinsen

hallo und willkommen zu einer neuen ausgabe der deutschen kammerakademie und zum zweiten video zum thema zinseszinsen im ersten video haben wir gesehen wie man zinseszinsen grundsätzlich berechnet und wir haben sogar noch ein offenes beispiel dass wir hier im zweiten video lösen werden und zwar haben wir uns die frage gestellt wie lange es dauert bis sich eine sparanlage bei einem bestimmten zinssatz verdoppelt und die frage haben wir schon im letzten video angeschrieben nämlich genau hier in rot wie lange dauert es bis ich mein geld verdoppelt wir haben auch schon mathematisch angeschrieben ich würde allerdings nochmal mathematisch anschreiben sozusagen als einstieg für dieses video außerdem habe ich dir versprochen dass ich deine methode zeige wie du das ganz einfach schätzen kannst und zudem kommen wir auch noch aber zuerst sozusagen noch einmal gehen wir das ganze mathematisch rechnerisch richtig durch und schreiben das ursprüngliche beispiel noch einmal an wo du 100 euro hat ist nicht wahr die bank und habe die einen zinssatz von jährlich zehn prozent angeboten also mal 1,1 das ist der zins faktor den wir im ersten video besprochen haben hoch 1 in dem fall eine seine variabler die ich gewählt habe weil wir wissen nicht wie viele jahre wir die 100 euro zehn prozent anlegen müssen so dass letzten endes 200 euro herauskommen wir wollen ja dein geld verdoppeln wir haben auch schon gesehen dass wir diese gleichung das vereinfachen können indem wir beide seiten noch 100 dividieren dann kommt 11 hochrhein ist gleich zwei heraus und wenn wir jetzt nach ein auflösen müssen wir sogar ihren es gibt ein ist gleich der logarithmisch von zwei zur basis 1,1 und das können wir jetzt nicht mehr weiter im kopf berechnen das müssen wir den taschenrechnern eingeben um das aber in den taschenrechner eingehen zu können müssen wir das auch noch vorbereiten weil die wenigsten taschenrechner zumindest kennt das wenn ich kenne haben den also eine logarithmische funktion zur basis 1 die meisten taschenrechner haben einen algorithmus funktion zur basis 10 oder auch zur basis 2 aber ein logarithmisch funktion zur basis 1 kompetenz haben die wenigsten daher bereite ich das noch einmal taschenrechner tauglich auf und da ergibt sich m ist gleich der luga rhythmus von zwei zur basis 10 durch den logarithmisch von 1,1 zur basis 10 diese beiden ausdrucke sind mathematisch ident und du kannst du gerne einen anderen video ansehen wie das mit mir und funktioniert und wie diese umformung funktioniert wir der einzige unterschied ist jetzt dass wir diese untere logarithmisch funktion in den taschenrechner eingeben können und das werden wir jetzt auch gleich machen und hier unten ist genau diese logarithmisch funktion zur basis 10 die wir suchen und das geben wir jetzt ein und zwar mir einen 2 und dafür suchen davon suchen wir den algorithmus sogar das 10 und dividieren das ganze durch 11 genau durch den logarithmisch von 1,1 und wir sehen dass es genau die rechnung die wir hier durchführen wollen drücken auf ist gleich sehen dass 727 herauskommt und ich werde das sozusagen etwas gewundert anschreiben nämlich als 725 denn so können wir sagen es dauert 25 jahre bis sich den einlage von 100 euro bei einem zinssatz von 10 prozent verdoppelt also 725 jahre so lange braucht es bis es 100 euro 200 euro werden aufgrund von zinsen die du von mir hält aufgrund von zinsen und zinseszinsen wenn wir uns als erste video zurück erinnern dort haben wir gesehen dass im ersten jahr zinsen anfallen und ab dem zweiten jahr elster auch zinsen auf den bereits erhaltenen zinsen also zinseszinsen und wie versprochen zeigt jetzt eine möglichkeit wie du dich selber so wie du dieses beispiel du kannst ohne komplizierte berechnungen mit logarithmisch funktion anstellen zu müssen bzw wir haben dann auch noch um gefahren für den taschenrechner das geht auch sehr viel einfacher wenn es darum geht hier nur ein ungefähres ergebnis zu schätzen und das erstellt das kannst du nämlich in der sogenannten 72er regel durchführen diese 72er regel wird sehr häufig bei der zins und zinseszins rechnung verwendet eignet sich sehr gut um schnell zu einem ergebnis zu kommen also zu einer schätzung zu kommen die sehr genaues und kann so zum beispiel auch anwenden um deine berechnungen überschlags mäßig zu kontrollieren als mit seiner überschlags kontroll rechnung das ganze noch mal für dich zu kontrollieren und die 72er regel sagt nimm dir zeit 72 dividiert durch den zinssatz und in dem beispiel hatten wir ein zinssatz von 10 prozent und hier müssen wirklich die zehn so in den nenner hinschreiben und das ist es auch schon wenn wir das durch dividieren das geht sehr einfach im kopf kommt 72 heraus 72 jahre denn die zinsen waren am 10 januar also zehn prozent jährlich das daher ist das ergebnis auch in jahren zu sehen und hier kommt 7,2 heraus wir sehen sofort das schätzergebnis von 72 liegt wahnsinnig nah bei dem rechnerischen ergebnis von 7 25 also diese 72er regel scheint erstens sehr schnell zu funktionieren wir haben das ganz einfach im kopf rechnen können und zweitens scheint sehr genau zu sein das funktioniert sozusagen für jeden jeden zinssatz wenn wir zum beispiel sechs prozent hätten würden wir 72 durch sechs nehmen und das gibt das ergibt zwölf jahre auch das können wir sozusagen kopfrechnen und auch hier kommen wir auf ein sehr genaues schätze gehen ist und wie genau das funktioniert das funktioniert also wie genau unsere schätzungen an tatsächlichen ergebnisse liegen können wir uns hier unten ansehen hier habe ich nämlich eine übersicht vorbereitet links eine tabelle und rechts die das dazugehörige diagramm und links in der tabelle stehen in der ersten spalte die zinssätze von 125 untereinander angeschrieben wir wollen uns nämlich anschauen wie welches ergebnis wir kommen ben zinssatz von 1% bis 2% bis 3% bis runter bis 25 prozent und in der zweiten spalte sehen wir das mathematisch rechnerisch richtige ergebnis wenn wir herausfinden wollen wie lange es beim bestimmten zinssatz dauert bis sich eine sparanlage verdoppelt also ich hab es ja in überschrift angeschrieben zeit zum verdoppeln mathematisch ich habe sie noch mal rot ein denn im diagramm ist die linie gute ergebnisse also wo die mathematischen ergebnisse eingetragen sind auch rot und schreibt es zu noch mehr dazu mathematisch das heißt bei einem prozent brauchen also braucht es 69 66 jahre bis sich eine sparanlage verdoppelt bei 25 prozent zinsen jährlich braucht es nur 35 jahre bis sich eine sparanlage verdoppelt und im diagramm ist das genau das selbe eingezeichnet hier unten haben wir die zinssätze hier links haben wir auf der vertikalen achse die jahre die rote linie gibt ergebnisse wider die wir erhalten den wir uns das mathematisch ausrichten also mit dieser gleichung die die dieser logarithmisch funktion beinhaltet wie wir es gerade im vorhin gemacht haben wir uns das für ein beispiel ansehen nehmen wir an wir möchten uns das für vier prozent einmal ansehen und vier prozent sind hier ich habe die linie auch erst begonnen sein einzutragen ab 4 prozent muss übersichtlich zu halten das heißt es ist dieser erste rote punkt hier den wir betrachten wollen und wenn wir das anschauen viele jahre das sind sehen wir das liegt irgendwo zwischen 20 und 15 etwas näher bei 20 das heißt sind tatsächlich das dürfte tatsächlich dieser 17 67 jahre seien das benötigte sicht eine sparanlage bei einem zinssatz von jährlich vier prozent verdoppelt hier in der zweiten dritten spalte und das sage ich jetzt grüne haben wir die ergebnisse die schätzergebnisse mit der wir mit der 72er regel kommen würden also die anwendung der 72er regel und bei zehn prozent haben wir schon gesehen zweier aus einem prozent wieder 72 herauskommen das heißt es wird 72 jahre dauern bei anwendung dieser schätzmethode also dass wir unsere schätzung bis sich eine sparanlage bei einem zinssatz von einem prozent jährlich verdoppelt zeigen wir auch hier einen wert an deswegen gefühl dafür bekommen wir gleich diese zehn prozent die wir aus dem beispiel kennen und ich habe deswegen auch die farbe grün genommen weil hier deckt die schätzergebnisse der 72er regel auf der grünen linie sind um zehn prozent sind hier unten angeschrieben das heißt wenn ich das hier verfolgen bis zur grünen linie und das hier auf der vertikalen achse auch ein trage dort wurde jahre an gezeichnet sind sehen wir das liegt wirklich zwischen 10 5 etwas näher noch bei 5 das heißt dass könnten wirklich dieser 72 jahre sein diese grafik die können wir also sehr gut verwenden um uns einen überblick zu verschaffen über diese 72 regel beziehungs auch über die mathematisch richtigen ergebnissen weil wir sehen sofort dass die 72 regel sehr genau arbeitet die zwei linien die rother mit dem mathematisch richtigen werten und die grüne mit den schätzwerten liegen wahnsinnig nah beieinander zu überschneiden sich in einen punkt zu gab aber ansonsten liegen liegen die werte sehr eng beieinander das heißt nichts anderes als dass die einschätzt als dass wir mit der 20 der regel auf ergebnisse kommen auf schätzergebnisse kommen die sehr nahe an den rechnerischen ergebnissen liegen und das können wir uns auch mathematisch ansehen wenn wir hier zum beispiel zweite und die dritte spalte vergleichen sehen wir dass die mathematischen ergebnisse ergebnisse sehr wenig und geringfügig von die von den jets ergebnissen mittels 72 regel abweichen sehr gering 4 69 66 bei einem prozent bei der 72 regel würden wir auf einschätzung 72 kommen also das ist sehr wenig hierbei 8% zum beispiel mathematisch würden wir auf 901 kommen und hier rechnerisch also hier mit der 72er regel wenn wir neue schätzen also tatsächlich weil ich das nur sehr wenig voneinander ab und dass wir sind wir auch dann wenn wir hier so eine vergleichszahl errechnen und dieser vergleich sei habe ich in der dritten spalte angeschrieben auf diese vergleichszeit kommen wir wenn wir den zinssatz als allererstes ganz ersten spalte hier mit den mathematisch richtigen werten multiplizieren kommen wir auf diesen vergleichswert und das können wir mit derzeit 72 vergleichen und sehen auch dass die zahl tatsächlich muss sehr geringfügig von derzeit 72 abweichen hierbei ein prozent 69 66 bei 25 prozent ist dieser vergleich zahl bei 77 66 also sehr nahe bei der zahl 72 das heißt auch dass wir sagen können dass die 72er regel sehr gut funktioniert und zum schluss herz männer dieses videos möchte ich dir auch noch möchte ich auch noch auf etwas aufmerksam machen nämlich auf dass das bei der zinsrechnung wirklich jeder prozent jeder prozent wichtig ist wenn wir uns das hier ansehen und sagen dass du dass es bei einem prozent 69 jahre 66 69 60 jahre dauert bis sich eine sparanlage verdoppelt und b 2 prozent 35 jahre als um halb so lange dauert dann ist es völlig klar und wir sehen hier auch sofort dass es hier wirklich jeder prozent jeder prozentsatz oder jeder zusätzlich prozent der zins rechnung wichtig ist das ist vor allem also dieser effekt hier ist vor allem dann zu groß wenn wir mit wenn wir es mit niedrigen zinssätzen zu tun haben aber als gewöhnliche bankkunden werden wir üblicherweise immer mit geringeren zinssätzen zu tun haben und da wollte ich dann noch mal zeigen dass hier durchaus jeder prozent mehr oder weniger entscheidend sein kann und damit verabschiede ich mich auch schon aus diesem video ich hoffe mit dieser 72 regel kannst du gut aufgaben schätzen beziehungsweise auch deine berechnungen kontrollieren wünsche dir viel spaß damit und verabschiede mich