Bedingte Wahrscheinlichkeit visuell erklärt

Denk über folgenden Sachverhalt nach: Bob befindet sich in einem Raum und hat zwei Münzen. Eine faire Münze und eine doppelseitige Münze. Er wählt zufällig eine aus, wirft sie, und nennt das Ergebnis: "Kopf!" Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die faire Münze geworfen hat? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir nochmals zurückspulen. Und wir erstellen einen Baum. Beim ersten Ereignis wählt er eine von zwei Münzen. An diesem Baum hat es nun zwei Zweige, die zu gleich wahrscheinlichen Ergebnissen führen, und zwar fair oder unfair. Beim nächsten Ereignis wirft er die Münze. Wenn er die faire Münze wählt, wissen wir, dass dieser Wurf zu zwei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen führen kann: Kopf oder Zahl. Die unfaire Münze wiederum führt zu zwei Ergebnissen, und zwar beide Kopf. Unser Baum ist fertig, und wir sehen, dass er vier Blätter hat. Für alle vier Blätter ist die Wahrscheinlichkeit gleich hoch. Der letzte Schritt, neue Fakten, meint er. "Kopf!" Immer, wenn wir Fakten erhalten, müssen wir unseren Baum beschneiden. Wir schneiden jeden Ast ab, der zu einer Zahl führt. Denn wir wissen nun, dass Zahl nicht aufgetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass er die faire Münze gezogen hat, ist das eine faire Ergebnis, das zu Kopf führt, geteilt durch die drei möglichen Ergebnisse, die zu Kopf führen bzw. einem Drittel. Was passiert, wenn er noch einmal wirft? Und er ruft: "Kopf!" Denk daran, nach jedem Ereignis wächst unser Baum. Die faire Münze führt zu zwei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, Kopf oder Zahl. Die unfaire Münze führt zu zwei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, Kopf und Kopf. Nachdem wir das zweite, "Kopf", gehört haben, schneiden wir alle Äste ab, die zu einer Zahl führen. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze fair ist, nach zwei Köpfen in Folge, das eine faire Ergebnis, das zu Kopf führt, geteilt durch alle möglichen Ergebnisse, die zu Köpfen führen, oder ein Fünftel. Beachte, dass unser Vertrauen in die faire Münze sinkt, je mehr Köpfe auftreten. Obwohl wir wissen, dass wir niemals Null erreichen werden. Ganz egal, wie viele Würfe stattfinden, wir können niemals 100% sicher sein, dass die Münze unfair ist. Tatsächlich können alle bedingten Wahrscheinlichkeitsfragen mit solchen Bäumen gelöst werden. Machen wir nochmals ein Beispiel. Bob hat drei Münzen. Zwei sind fair. Aber eine Münze nicht. Denn in zwei Dritteln der Zeit kommt Kopf, und nur zu einem Drittel der Zeit kommt Zahl. Er wählt zufällig eine Münze aus und wirft sie. "Kopf!" Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass er die "gezinkte" Münze gewählt hat? Lass uns zurückspulen und einen Baum bauen. Das erste Ereignis, die Wahl der Münze, kann zu drei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen führen: faire Münze, faire Münze und unfaire Münze. Das nächste Ereignis: Jede faire Münze führt zu zwei gleich wahrscheinlichen Blättern, Kopf und Zahl. Die gezinkte Münze führt zu drei gleich wahrscheinlichen Blättern, zwei, die Kopf darstellen, und eines, das Zahl darstellt. Der Trick besteht nun darin, immer sicherzustellen, dass unser Baum ausgeglichen ist. Das bedeutet, dass eine gleiche Anzahl von Blättern aus jedem Ast wächst. Um dies zu tun, skalieren wir einfach die Anzahl der Äste auf das kleinste gemeinsame Vielfache. Für zwei und drei beträgt dies sechs. Und schließlich beschriften wir unsere Blätter. Die faire Münze teilt sich nun in sechs gleich wahrscheinliche Blätter, drei Köpfe und drei Zahlen. Für die voreingenommene Münze haben wir jetzt zwei Zahl-Blätter und vier Kopf-Blätter. Und das war's. Bob ruft das Ergebnis aus: "Kopf!" Diese neue Erkenntnis ermöglicht es uns, alle Äste, die zu Zahlen führen, abzuschneiden, da Zahl ja nicht ausgerufen wurde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die gezinkte Münze gewählt hat, nachdem Kopf aufgetreten ist? Sie beträgt vier Blätter, die von der gezinkten Münze kommen können, geteilt durch alle möglichen Blätter. Vier geteilt durch zehn, oder 40%. Im Zweifelsfall ist es immer möglich, bedingte Wahrscheinlichkeitsfragen mit dem "Satz von Bayes" zu beantworten. Dieser sagt uns die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, gegeben neue Beweise B. Falls du es vergessen hast, kein Problem. Du musst nur wissen, wie man das mit solchen Bäumen machen kann.