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Informationstechnik
Kurs: Informationstechnik > Lerneinheit 2
Lesson 5: Modulare Arithmetik- Was ist modulare Arithmetik?
- Modulo-Operator
- Modulo-Challenge
- Kongruenz Modul
- Kongruenzrelation
- Gleichwertigkeitsbeziehungen
- Das Quotientenrest-Theorem
- Modulare Addition und Subtraktion
- Modulare Addition
- Herausforderung zum Modulusoperator (Addition und Subtraktion)
- Modulare Multiplikation
- Modulare Multiplikation
- Modulare Exponentialrechnung
- Schnelle modulare Exponentialrechnung
- Schnelle modulare Exponentialrechnung
- Modulare Kehrzahlen
- Der euklidische Algorithmus
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Das Quotientenrest-Theorem
Die Division mit Rest
Wenn wir einen Beweis einiger Eigenschaften der modularen Arithmetik machen wollen, benutzen wir oft die Division mit Rest.
Es ist eine einfache Idee, die direkt von der schriftlichen Division herrührt.
Es ist eine einfache Idee, die direkt von der schriftlichen Division herrührt.
Die Division mit Rest besagt:
Für jede ganze Zahl A und eine zweite positive ganze Zahl B, existieren die eindeutigen ganzen Zahlen Q und R für die gilt
Für jede ganze Zahl A und eine zweite positive ganze Zahl B, existieren die eindeutigen ganzen Zahlen Q und R für die gilt
A= B * Q + R mit 0 ≤ R < B
Wie wir sehen entstammt diese Formel direkt der schriftlichen Division. Wenn wir in der schriftlichen Division A durch B teilen, ist Q der Quotient und R ist der Rest.
Wenn wir eine Zahl in dieser Form schreiben wollen, dann ist A mod B = R
Wenn wir eine Zahl in dieser Form schreiben wollen, dann ist A mod B = R
Beispiele
A = 7, B = 2
7 = 2 * 3 + 1
7 mod 2 = 1
7 mod 2 = 1
A = 8, B = 4
8 = 4 * 2 + 0
8 mod 4 = 0
8 mod 4 = 0
A = 13, B = 5
13 = 5 * 2 + 3
13 mod 5 = 3
13 mod 5 = 3
A = -16, B = 26
-16 = 26 * -1 + 10
-16 mod 26 = 10
-16 mod 26 = 10
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