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Gleichwertigkeitsbeziehungen

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Sätze zur Gleichwertigkeit

Bevor wir fortfahren, ist es wichtig zu bedenken, dass die folgenden Aussagen gleichwertig sind

A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
A, start text, space, m, o, d, space, end text, C, equals, B, start text, space, m, o, d, space, end text, C
C, space, vertical bar, space, left parenthesis, A, minus, B, right parenthesis (Das | Symbol bedeutet geteilt durch, oder ist ein Faktor von)
A, equals, B, plus, K, dot, C (wobei K eine Ganzzahl ist)

Dies lässt uns zwischen verschiedenen Formen hin und her bewegen welche gleiche Idee die Ausdruck zu bringen.

Zum Beispiel sind die Folgenden gleichwertig:

13, \equiv, 23, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis
13, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 23, start text, space, m, o, d, space, end text, 5
5, space, vertical bar, space, left parenthesis, 13, minus, 23, right parenthesis ( 5, space, vertical bar, space, minus, 10, ist wahr, da 5, times, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 10 )
13, equals, 23, plus, K, dot, 5. Die Gleichung wird erfüllt mit K, equals, minus, 2: 13, equals, 23, plus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, dot, 5

Kongruenz Modulo ist eine Äquivalenzrelation

Überzeugen Sie sich, dass die Scheiben, die im vorherigen Beispiel verwendet wurden, die folgenden Eigenschaften aufweisen:

Jedes Wertepaar in einem Segment beziehen sich aufeinander
Es existiert kein Wert in mehr als einem Segment (die Segmente sind disjunkt zueinander).
Wenn wir alle Segmente miteinander verbinden, würden sie einen Kuchen mit allen Werten bilden

Ein Kuchen mit Segmenten, die diese Eigenschaften haben, hat eine Äquivalenzrelation.
Eine Äquivalenzrelation definiert wie wir unseren Kuchenaufteilen können, (wie wir unsere Werte in Segmente aufteilen bzw. unsere Gruppe von Werten) in verschiedene Segmente (Äquivalenzklassen) aufteilen).

Im Allgemeinen müssen gleichwertige Beziehungen diese Eigenschaften aufweisen:

Der Kuchen: eine Auflistung aller Werte, die uns interessieren
Ein Kuchenstück: eine Äquivalenzklasse
Wie wir den Kuchen in Scheiben schneiden: Äquivalenzrelation

Insbesondere für unser vorheriges Beispiel:

Der Kuchen: die Sammlung aller Ganzzahlen
Ein Stück Kuchen mit dem Namen B: Äquivalenzklasse, in welcher für alle Werte gilt: start text, m, o, d, space, end text, C, equals, B
Der Kuchen wurde durch die Beziehung Kongruenz modulo C \equiv, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis in Scheiben geschnitten.

Deshalb sagen wir, dass Kongruenz modulo C eine Äquivalenzrelation ist. Es partitioniert ganzen Zahlen in C verschiedene Äquivalenzklassen.

Warum kümmern wir uns darum, dass die Kongruenz modulo C eine Äquivalenzrelation ist?

Zu wissen, dass die Kongruenz modulo C eine Äquivalenzrelation ist, lässt uns einige Annahmen über einige Eigenschaften machen, die sie benötigt,.
Gleichwertigkeitsbeziehungen sind Beziehungen, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

Sie sind reflexiv: A bezieht sich auf A
Sie sind symmetrisch: Wenn sich A auf B bezieht, dann bezieht sich B auch auf A
Sie sind transitiv: Wenn sich A auf B bezieht und B auf C, dann bezieht sich A auch auf C

DaKongruenz modulo eine Äquivalenzrelation für (mod C) ist bedeutet dies:

A, \equiv, A, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
Wenn A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis dann auch B, \equiv, A, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
Wenn A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis und B, \equiv, D, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis dann folgt: A, \equiv, D, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis

Beispiel

Lass uns diese Eigenschaften auf ein konkretes Beispiel mit start text, m, o, d, space, end text, 5, colon anwenden:

3, \equiv, 3, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis (reflexiv)
Wenn 3, \equiv, 8, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis dann 8, \equiv, 3, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis (symmetrisch)
Wenn 3, \equiv, 8, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis und 8, \equiv, 18, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis dann 3, \equiv, 18, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis (transitiv)

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