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Gleichwertigkeitsbeziehungen

Sätze zur Gleichwertigkeit

Bevor wir fortfahren, ist es wichtig zu bedenken, dass die folgenden Aussagen gleichwertig sind
  • AB (mod C)
  • A mod C=B mod C
  • C | (AB) (Das | Symbol bedeutet geteilt durch, oder ist ein Faktor von)
  • A=B+KC (wobei K eine Ganzzahl ist)
Dies lässt uns zwischen verschiedenen Formen hin und her bewegen welche gleiche Idee die Ausdruck zu bringen.
Zum Beispiel sind die Folgenden gleichwertig:
  • 1323 (mod 5)
  • 13 mod 5=23 mod 5
  • 5 | (1323) ( 5 | 10, ist wahr, da 5×(2)=10 )
  • 13=23+K5. Die Gleichung wird erfüllt mit K=2: 13=23+(2)5

Kongruenz Modulo ist eine Äquivalenzrelation

Kuchen

Überzeugen Sie sich, dass die Scheiben, die im vorherigen Beispiel verwendet wurden, die folgenden Eigenschaften aufweisen:
  • Jedes Wertepaar in einem Segment beziehen sich aufeinander
  • Es existiert kein Wert in mehr als einem Segment (die Segmente sind disjunkt zueinander).
  • Wenn wir alle Segmente miteinander verbinden, würden sie einen Kuchen mit allen Werten bilden
Ein Kuchen mit Segmenten, die diese Eigenschaften haben, hat eine Äquivalenzrelation.
Eine Äquivalenzrelation definiert wie wir unseren Kuchenaufteilen können, (wie wir unsere Werte in Segmente aufteilen bzw. unsere Gruppe von Werten) in verschiedene Segmente (Äquivalenzklassen) aufteilen).
Im Allgemeinen müssen gleichwertige Beziehungen diese Eigenschaften aufweisen:
  • Der Kuchen: eine Auflistung aller Werte, die uns interessieren
  • Ein Kuchenstück: eine Äquivalenzklasse
  • Wie wir den Kuchen in Scheiben schneiden: Äquivalenzrelation
Insbesondere für unser vorheriges Beispiel:
  • Der Kuchen: die Sammlung aller Ganzzahlen
  • Ein Stück Kuchen mit dem Namen B: Äquivalenzklasse, in welcher für alle Werte gilt: mod C=B
  • Der Kuchen wurde durch die Beziehung Kongruenz modulo C (mod C) in Scheiben geschnitten.
Deshalb sagen wir, dass Kongruenz modulo C eine Äquivalenzrelation ist. Es partitioniert ganzen Zahlen in C verschiedene Äquivalenzklassen.

Warum kümmern wir uns darum, dass die Kongruenz modulo C eine Äquivalenzrelation ist?

Zu wissen, dass die Kongruenz modulo C eine Äquivalenzrelation ist, lässt uns einige Annahmen über einige Eigenschaften machen, die sie benötigt,.
Gleichwertigkeitsbeziehungen sind Beziehungen, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:
  • Sie sind reflexiv: A bezieht sich auf A
  • Sie sind symmetrisch: Wenn sich A auf B bezieht, dann bezieht sich B auch auf A
  • Sie sind transitiv: Wenn sich A auf B bezieht und B auf C, dann bezieht sich A auch auf C
DaKongruenz modulo eine Äquivalenzrelation für (mod C) ist bedeutet dies:
  • AA (mod C)
  • Wenn AB (mod C) dann auch BA (mod C)
  • Wenn AB (mod C) und BD (mod C) dann folgt: AD (mod C)

Beispiel

MOD5
Lass uns diese Eigenschaften auf ein konkretes Beispiel mit mod 5: anwenden:
  • 33 (mod 5) (reflexiv)
  • Wenn 38 (mod 5) dann 83 (mod 5) (symmetrisch)
  • Wenn 38 (mod 5) und 818 (mod 5) dann 318 (mod 5) (transitiv)

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