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Kongruenz Modul

Kongruenz Modul

Du siehst vielleicht einen Ausdruck wie:
A, \equiv, B, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
Dies bedeutet, dass A mit B mod C kongruent ist.
Wir werden die Bedeutung von Kongruenz modulo durch ein Gedankenexperiment mit dem regulären modulo Operator erklären.
Stell dir vor, wir berechnen mod 5 für alle ganzen Zahlen:
Lass uns 5 Tortenstücke mit 0, 1, 2, 3, 4 beschriften. Jede ganze Zahl legen wir dann in das Tortenstück, das dem Wert der Zahl mod 5 entspricht.
Stell dir die Tortenstücke als Eimer vor, die eine Menge von Zahlen beinhalten. Zum Beispiel würde die 26 in das Tortenstück mit der 1 gehen, denn 26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1.
Oben siehst du eine Abbildung, die einige ganze Zahlen zeigt, die wir in den Tortenstücken finden würden.
Es wäre sinnvoll, einen Weg zu finden, um auszudrücken, dass Zahlen zum selben Tortenstück gehören. (Beachte, dass 26 in obigem Beispiel zu dem selben Stück gehört wie 1, 6, 11, 16, 21).
Die übliche Art auszudrücken, dass zwei Zahlen zu demselben Tortenstück gehören, ist zu sagen, dass sie in derselben Äquivalenzklasse liegen.
Für mod C formulieren wir das mathematisch so: A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
Der Ausdruck oben wird als A ist Kongruent zu B modulo C ausgesprochen.
Schauen wir uns den Ausdruck genauer an:
  1. \equiv ist das Symbol für Kongruenz, d.h. die Werte A und B befinden sich in der selben Äquivalenzklasse.
  2. left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis sagt uns, welche Operation wir auf A und B angewendet haben.
  3. Wenn beide Ausdrücke vorkommen, nennen wir das “\equivKongruenz modulo C.
z.B. 26, \equiv, 11, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis
26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1, also ist 26 in der Äquivalenzklasse der 1,
  11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1, also ist auch 11 in der Äquivalenzklasse der 1.
Beachte, dass sich dies von A, start text, space, m, o, d, space, end text, C: 26, does not equal, 11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5 unterscheidet.

Einblick in Kongruenz modulo

Wir können einen weiteren Einblick bekommen, was Modulo Kongruenz bedeutet, wenn wir dasselbe Gedankenexperiment mit einer beliebigen ganzen Zahl C durchführen.
Dazu beschriften wir C Tortenstücke mit 0, comma, 1, comma, 2, comma, dots, comma, C, minus, 2, comma, C, minus, 1.
Dann legen wir jede ganze Zahl in das Tortenstück, das dem ,Wert der Zahl start text, m, o, d, space, end text, C entspricht.
Unten siehst du eine Abbildung, die einige Werte zeigt, die wir in jedem Tortenstück finden würden.
Wenn wir auf das Stück mit der 0 schauen, sehen wir:
dots, comma, minus, 3, C, comma, minus, 2, C, comma, minus, C, comma, 0, comma, C, comma, 2, C, comma, 3, C, comma, dots
Wenn wir auf das Stück mit der 1 schauen, sehen wir:
dots, comma, 1, minus, 3, C, comma, 1, minus, 2, C, comma, 1, minus, C, comma, 1, comma, 1, plus, C, comma, 1, plus, 2, C, comma, 1, plus, 3, C, comma, dots
Wenn wir auf das Stück mit der 2 schauen, sehen wir:
dots, comma, 2, minus, 3, C, comma, 2, minus, 2, C, comma, 2, minus, C, comma, 2, comma, 2, plus, C, comma, 2, plus, 2, C, comma, 2, plus, 3, C, comma, dots
Wenn wir auf das Stück mit der C, minus, 1 schauen, sehen wir:
dots, comma, minus, 2, C, minus, 1, comma, minus, C, minus, 1, comma, minus, 1, comma, C, minus, 1, comma, 2, C, minus, 1, comma, 3, C, minus, 1, comma, 4, C, minus, 1, dots
Bei diesem Experiment machen wir eine wichtige Beobachtung:
  Die Werte in jedem Tortenstück sind gleich dem Wert der Beschriftung plus oder minus einem Vielfachen von C.
  Das bedeutet, dass die Differenz zwischen zwei beliebigen Werten in einem Tortenstück ist ein Vielfaches von C.
 Diese Beobachtung kann uns als nächstes helfen, Äquivalenzaussagen und Äquivalenzklassen zu verstehen.

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